Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

EinigeEigenschaften der Laguerre-Polynome
Definiton: Ln(x) = ex d
n!
n
dxn(xne −x )
Integraldarstellung: Ln(x) = 1
e
2πi
−xz/(1−z)
(1−z)z n+1dz
C
C: schließt Ursprung ein, z = 1 aus (Umlauf im
math.pos.Sinn)
Rekursionsbeziehungen: (n+1)Ln+1(x) = (2n+1−x)Ln(x)−nLn−1(x)
xL ′ n(x) = nLn(x)−nLn−1(x)
Laguerresche Differentialgleichung:
xy ′′ +(1−x)y ′ +ny = 0
assoziiertelag.DGL xy ′′ +(µ+1−x)y ′ +ny = 0
assoziierte laguerresche
Polynome:
Orthogonalität:
Normierung:
∞
0
Nunist
∞
0
u nr,l(r/a0)
r
L 0 n(x) ≡ Ln(x)
L µ n(x) = ex x −µ
∞
0
u nr,l(r/a0)
r
n!
d n
dx n(e−x x n+µ )
e −x x µ L µ n(x)L µ m(x)dx = (n+µ)!
δnm
n!
r 2 dr = 1
x 2l+1 e −x
L (2l+1)
2 nr (x) dx = (nr +2l +1)!
,
nr!
woraus mit der Normierungsbedingung die Normierungskonstante c nr,l
für den Radialanteil der Wellenfunktion bestimmt werden kann. Die Gesamtwellenfunktionist
unddamit
ψ n,l,m(r, ϑ, ϕ) = u nr,l(r/a0)
r
ψn,l,m(r, ϑ, ϕ) = Rn,l(r)Yl,m(ϑ, ϕ)
nr!
(n+l)!
R n,l(r) = 2
n 2 a 3/2
0
nr = n−l−1 ≥ 0
Y l,m(ϑ, ϕ) n = nr +l+1
139
2r
na0
l
e −r/na0
(2l+1) 2r
L nr
na0
(74)