Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

= − ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
+ ˆp 2 .
Die ReihenfolgederOperatoren ˆp und ˆx im erstenTermin (15) ist wichtig.
InderOrtsdarstellunghaben wir:
ˆp ˆx ¯h
=
ˆr i ∇x
¯h 1
=
r i r (∇x)
+x ∇
3
1
r
− 1 1
r2∇r = −
r2 +
x
r
x
r ∇
= ¯h
3 1
−
i r r3x2 + x
r ∇
=
¯h
2 ∂
+
i r ∂r
und
ˆx
ˆr
ˆp = x
r
Zusammengefasst:
1
r
¯h ¯h
∇ =
i i
ˆp ˆx
¯h 2
=
ˆr i r
ˆx ¯h ∂
ˆp =
ˆr i ∂r
∂
∂r
∂
+
∂r
er ·∇ = ∂
∂r
(16a)
(16b)
AlsRadialanteildesImpulseswürdemangerndenhermitschenAnteildieserbeidenOperatorendefinieren(deristnatürlich
gleich!):
ˆpr = 1
ˆp
2
ˆx ˆx
+
ˆr ˆr ˆp
¯h 1 ∂
= + (17)
i r ∂r
Ortsdarst.
Istdaskonsistent?
ˆpr 2
¯h
2
1
=
i r
= −¯h 2
1 ∂ 1
+
r2
∂r r
− 1
r2+1 +
∂
r ∂r
1
r
Ja.
ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
=
Also ˆp 2 r =
¯h
i
∂ 1 ∂
+ +
∂r r ∂r
2 2 ∂
+
r ∂r
ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
∂ ∂2
+
∂r ∂r2 119
∂
∂r
= −¯h 2
2
= −¯h2
2
r
r
∂
∂r
∂
∂r
∂2
+
∂r2
∂2
+
∂r2
(18)