Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

wobei
P m l (x) = (−1)m (1−x 2 ) m/2
m d
dx
P l(x) (58b)
dieassoziierten( ” zugeordneten“)Legendre-Funktionensind(Polynomein
denbeidenGrößensin ϑ undcos ϑ).
Die Legendre-Polynome P l sinddefiniertdurch
P l(x) = 1
2 l l!
l d
(x
dx
2 −1) l
Zum BeweisderGleichheit von (57) und(58) benötigtman
(58c)
l−m ∂
(l+m)! sin
∂cos ϑ
2l ϑ = (−1) m (l−m)!sin 2m l+m ∂
ϑ sin
∂cos ϑ
2l ϑ
(59)
Bezeichnung: l = 0, 1, 2, 3, 4
(Atomphysik) s-, p-, d-, f-, g-Zustände
Parität derKugelflächenfunktionen:
Y l,m(ϑ, ϕ) = F l,m(e)
F l,m(e) = (−1) l F l,m(−e)
Y l,m(ϑ, ϕ) = (−1) l Y l,m(π− ϑ, ϕ+π) (60)
EinigeEigenschaften derLegendre-Polynome
Integraldarstellung: Pl(x) = 1
(1−2xz+z
2πi
C
2 ) −1/2 z −l−1 dz
C: umschließt den Ursprung im mathematisch
positivenSinn
Rekursionsbeziehungen: (l+1)P l+1(x)−(2l +1)xP l(x)+lP l−1(x) = 0
(1−x 2 )P ′ n(x) = −nxPn(x)+nPn−1(x)
= (n+1)xPn(x)−(n+1)Pn+1(x)
ErzeugendeFunktion: (1−2xt+t 2 ) −1/2 = ∞
∑ Pn(x)t
n=0
n
Legendresche Differentialgleichung:
Orthogonalität:
(1−x 2 )y ′′ −2xy ′ +l(l+1)y = 0
1
−1
Pn(x)Pm(x)dx = 2
2n+1 δnm
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