Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

|ψz〉 = 1
√ |z+〉 1 |z−〉 2−|z−〉 1 |z+〉 2
2
und den durch Rotation der Spinrichtungen von ez in die durch ϑ, ϕ gegebeneRichtung
n darausentstehendenZustand
ψϑ,ϕ .
ZunächstbenötigenwirdieEigenfunktionen|ϑ, ϕ,+〉,|ϑ, ϕ,−〉desOperators
σ·n = σxsin ϑcos ϕ+σysin ϑsin ϕ+σzcos ϑ.
Beh.:
|ϑ, ϕ,+〉 = cos ϑ
2 e−iϕ/2 |z+〉+sin ϑ
2 eiϕ/2 |z−〉 (3a)
|ϑ, ϕ,−〉 = −sin ϑ
2 e−iϕ/2 |z+〉+cos ϑ
2 eiϕ/2 |z−〉 (3b)
(bis auf einenPhasenfaktor)
Bew.: Mit
σx|z+〉 = |z−〉, σx|z−〉 = |z+〉
σy|z+〉 = i|z−〉, σy|z−〉 = −i|z+〉 (4)
σz|z+〉 = |z+〉, σz|z−〉 = −|z−〉
[folgtdirektaus derDefinition (11.35) derPauli-Matrizen] gilt:
σ ·n|ϑ, ϕ,+〉 = sin ϑcos ϕ cos ϑ
2
ϕ
ei 2 |z+〉
ϕ
ei 2 |z+〉
ϕ
e−i 2 |z−〉+sin ϑ
2
+sin ϑsin ϕ icos ϑ ϕ
e−i 2 |z−〉−isin
2 ϑ
2
+cos ϑ cos ϑ ϕ
e−i 2 |z+〉−sin
2 ϑ
2
= sin ϑsin ϑ
(cos ϕ−isin ϕ
2
e−iϕ ϕ
i
)e 2 +cos ϑcos ϑ
2
+ sin ϑcos ϑ
(cos ϕ+isin ϕ
2
eiϕ ϕ
−i
)e 2 −cos ϑsin ϑ
2
ϕ
−i
= e 2 sin ϑsin ϑ
ϑ
+cos ϑcos
2
2
cos ϑ
|z+〉
2
ϕ
i
+e 2 sin ϑcos ϑ
ϑ
−cos ϑsin |z−〉 = |ϑ, ϕ,+〉
2
2
σ ·n|ϑ, ϕ,−〉 = sin ϑcos ϕ
sin ϑ
2
−sin ϑ ϕ
e−i
2
200
ϕ
ei 2 |z−〉
ϕ
e−i 2 |z+〉
2 |z−〉+cos ϑ
2
ϕ
ei 2 |z−〉
ϕ
ei 2 |z+〉
(2)