Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

zu denentartetenEigenwertenE = p2
2m von ˆH.
Da ψp und ψ−p zu verschiedenen Eigenwerten von P gehören, ist in
dem gemeinsamen Systemvon Eigenfunktionenvon ˆH und P, nämlich
cos p p
¯h x, p ≥ 0; sin ¯h x, p > 0 ,die Entartungaufgehoben.
Anmerkung:Dass P nurdie Eigenwerte±1hat,folgt aus
P 2 |ψ〉 = |ψ〉 [gilt für jedeFunktion]
und P 2 |ψ〉 = λ 2 |ψ〉 [gilt für jedeEigenfunktion]
λ 2 = 1
2) freies Teilchenin 2D
ˆH = ˆp2 x + ˆp 2 y
2m
DieEigenwerte E = p2 x + p 2 y
2m
sindfürE > 0unendlichfachentartet:
i
Eigenfunktionen: ϕpx,py (x,y) = e¯h (pxx+pyy)
.
Zum Eigenwert E gehören alle Eigenfunktionen, deren
Parameter (px, py) einen Kreis mit Radius √ 2mE
um denUrsprungbilden.
Das sindebeneWellenmit gleichemBetragderWellenzahl,aber verschiedenenAusbreitungsrichtungen.
VollständigerSatzvonOperatoren:
ˆH, ˆpx, ˆpy
[{ ˆH, ˆpx} allein reicht nicht aus, da ein Eigenwertpaar (E,px) die py-
Komponente nur bis aufs Vorzeichen bestimmt; der Satz { ˆH, ˆpx} reduziert
dieEntartungvon ∞fach auf zweifach].
3) H-Atom
VollständigerSatzvonOperatoren:
ˆH, ˆL 2 , ˆLz, ˆSz
Hierbei sind ˆLz die z-Komponente des Drehimpulses und ˆSz die des
Spins,mit denwir unsvorläufig nicht beschäftigen.
WennwirunsaufdenOrtsraumbeschränken,istderSatz ˆH, ˆL 2
, ˆLz
vollständig–jedederEigenfunktionenistdannimOrtsraumeindeutig
bestimmt.
Berücksichtigt man noch den Freiheitsgrad des Elektronenspins, so
zeigt sich, dass erst wenn jede dieser Eigenfunktionen mit einer von
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