Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

6 Eindimensionalezeitunabhängige Potentiale
6.1 AllgemeineAussagen
eindimensionalezeitunabhängige Schrödingergleichung
− ¯h2 d
2m
2
ϕ(x)+V(x)ϕ(x) = Eϕ(x) (1)
dx2
ϕ ′′ (x)+k 2 (x)ϕ(x) = 0
k 2 (x) = 2m
¯h 2
E−V(x) (2)
Was können wir über die Lösungen von (2) aussagen, ohne das Potential
V(x) in allen Einzelheitenzu kennen?
i) V(x) reell → mit ϕ(x) ist auch ϕ ∗ (x) Lösung also auch die reellen
Linearkombinationen ϕ(x)+ ϕ ∗ (x) bzw i(ϕ(x)− ϕ ∗ (x))
ϕ(x) kannreellgewähltwerden
(dieSchlussfolgerung,dasseszueinemEigenwertimmerzweiLösungen
gibt, wäre allerdings falsch, denn eine der Linearkombinationen
kannja Nullsein)
ii) IstdasPotentialstückweisestetig,sosindsowohl ϕ(x)alsauch ϕ ′ (x)
stetig
stückweise Stetigkeit ❀ das Potential macht höchstens endliche
Sprünge
Beweis:
Vorbemerkung: ϕ ∗ (x)ϕ(x) isteineWahrscheinlichkeitsdichte
b
a
b
a
ϕ ∗ (x)ϕ(x)dx istendlich ∀a,b ∈ R
|ϕ(x)|dx ist endlichfür endliche a,b ∈ R
(2) ⇒ ϕ ′′ (x) = −k 2 (x)ϕ(x)
x0+ε
x0+ε
ϕ
x0−ε
′′ (x)dx
ϕ ′ (x0+ε)−ϕ ′ = k
x0−ε
(x0−ε)
2 (x)ϕ(x)dx
ϕ ′ (x0+ ε)− ϕ ′ (x0− ε)
≤ sup k
[x0−ε,x0+ε]
2 (x) x0+ε
|ϕ(x)|dx
x0−ε
≤ const.
C
55
(3)