Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

AB|ψn〉 = BA|ψn〉 = Ban|ψn〉 = anB|ψn〉 (52)
B|ψn〉istEigenvektorvon AzumselbenEigenwertan (oderderNullvektor)!
Beinichtentartetem Spektrum:
B|ψn〉 und|ψn〉 könnensich höchstensum einenFaktorunterscheiden:
B|ψn〉 = b|ψn〉 (53)
|ψn〉 istauch Eigenvektorzu B!(Gilt auch, wenn B|ψn〉 = 0.)
Entartetes Spektrum:
B|ψn〉 muss Eigenvektor von A zum Eigenwert an sein. Wenn A m linear
unabhängige Eigenvektoren |ϕni〉, i = 1...m zu diesem Eigenwert hat,
dannistjedenichtverschwindendeLinearkombinationder|ϕni〉Eigenvektor
zu diesem Eigenwert. Umgekehrt lassen sich alle Eigenvektoren zum
Eigenwertan alsLinearkombinationder|ϕni〉darstellen. 23 Damitlässtsich
aber auch jeder der Vektoren B|ϕni〉 durch eine Linearkombination der
|ϕni〉 darstellen
B|ϕni〉 = ∑ k
β ki|ϕni〉 β ki ∗ = βik (B hermitesch)
diagonalisiere βki ⇒ U † βU = diag(λβi)
Ujr ∗
ϕnj ist E.V.von B
(DoppeltunterstricheneGrößenstellenhier Matrizen dar.)
∑ j
Führtman dieseÜberlegungenetwasaus,sofindetman folgendenSatz:
WenndiehermiteschenOperatoren AundBvertauschen,soexistiertstets
ein beiden Operatoren gemeinsames vollständiges orthonormiertes Systemvon
Eigenvektoren.
(Ist keine Entartung vorhanden, so sind die Eigenvektoren hermitescher
Operatoren automatisch orthogonal. Im Fall der Entartung kann man sie
orthogonalwählen,undunserSatzbesagtgerade,dassmanbeikommutierendenhermiteschen
Operatoren ein gemeinsames ONS von Eigenvektoren
wählenkann.)
BedeutungdesSatzesfürdie Physik?
Messungvon A ❀ Systemist danach in Eigenzustand|ψn〉 von A
Messungvon B unmittelbar nach A
❀ entweder ändert sich |ψn〉 überhaupt nicht (bzw. nur
um einen Phasenfaktor) – nämlich wenn |ψn〉 nicht
entartet mit einem anderen Eigenzustand von A ist –
oder |ψn〉 ändert sich in einen anderen Eigenzustand
zum selbenEigenwertan
23 DerEigenraumzu an hat dieDimensionm.
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