Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Die heisenbergscheBewegungsgleichungerlaubteineformaleleganteEtablierungderKorrespondenzzwischenklassischerMechanikundQuantenmechanik.
In der hamiltonschen Mechanik gilt bei nicht explizit zeitabhängiger Hamiltonfunktionfür
eineObservable A(qi,pi)
˙A = ∑ i
∂A ∂H
∂qi ∂pi
− ∂A
∂pi
∂H
= {A,H} = −{H,A}, (59)
∂qi
wobei { , } die Poissonklammern sind. (Hängt A zusätzlich explizit von t
ab, sowird daraus ˙A = {A,H}+∂A/∂t.)
Man erhält die quantenmechanische Bewegungsgleichung aus der klassischenoffensichtlich,
indemman {H,A} durch 1
i¯h [H,A] ersetzt.
Erhaltungsgrößen
InderklassischenMechanikkannmanErhaltungsgrößenrelativnaivdefinieren
als Größen, die bei der dynamischen Entwicklungdes Systemssich
zeitlichnichtverändern.Diesistmöglich,weiljedeGrößeprinzipielldirekt
einerMessungzugänglich ist.
In der Quantenmechanik liegen die Dinge nicht so einfach, da auch für
eineErhaltungsgrößegilt,dassihremehrfacheMessungimselbenZustand
nicht immer zum gleichen Ergebnis führen muss (außer der Zustand hat
besondereEigenschaften–nämlich EigenzustandderMessgrößezu sein).
Deshalbdefinierenwir:
Erhaltungsgröße – Größe, deren Erwartungswert zeitlich konstant ist (d.h.,
der Erwartungswert bleibt für einen beliebigen gegebenenAnfangszustandimmerderselbe,ervariiertaberi.A.
beiderVariation desAnfangszustands) (a)
Einealternative aber (wie wir sehenwerden)äquivalente Forderungwäre:
Erhaltungsgröße – Größe,derenwiederholteMessunginbeliebigen Zeitabständen
(ohne intervenierende Messung einer anderen
Größe)immer denselbenMesswertliefert (b)
Wir gehen von (a) aus, das ist am einfachsten. Wir suchen nun ein Kriterium,
das es erlaubt, leicht zu entscheiden, ob eine Größe Erhaltungsgröße
ist odernicht. ImHeisenbergbildistdas besonderseinfach.
Heisenbergbild: A zeitunabhängig ⇔ A Erhaltungsgröße
(denn die Zustände sind im Heisenbergbild zeitunabhängig,alsowirdderErwartungswertzeitunabhängig,
wennderOperatorzeitunabhängig ist)
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