Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

∀x0 : ϕ ′ (x0) macht höchstens endliche Sprünge, ist damit selbst
beschränkt(etwadurch eineKonstante ˜C)
x0+ε
|ϕ(x0+ ε)− ϕ(x0− ε)| =
ϕ ′
(x)dx
≤ 2ε· ˜C −→ 0
ε→0
x0−ε
ϕ(x) iststetig (q.e.d.,Teil1)
istaber ϕ(x)stetig,solässtsichdieAbschätzung(3) nochverbessern
ϕ ′ (x0 + ε)− ϕ ′ (x0 − ε)
≤ 2ε sup k
[x0−ε,x0+ε]
2 (x)ϕ(x) −→ 0
ε→0
ϕ ′ (x) iststetig (q.e.d.,Teil2)
iii) An Stellen,wodasPotentialeine δ-Funktions-Singularitätbesitzt,
gilt
V(x) = Vs(x)+V0δ(x−a) (Vs(x)stückweisestetig) (4)
ϕ ′ (a+0)− ϕ ′ (a−0) = 2m
¯h 2 V0 ϕ(a) (5)
ϕ(a+0)− ϕ(a−0) = 0 (6)
(ϕ(x) bleibt stetig)
DenBeweisführenwirnichtdurch,dieBeweisideeistwiebeiii),dass
ein singuläres Verhalten von ϕ ′′ (x) durch Integrieren abgeschwächt
wird,d.h.eine δ-Funktions-Singularitätvon ϕ ′′ wirdzueinerSprungsingularität
von ϕ ′ , derenIntegrationzu Stetigkeitführt.
Anmerkung: Aus der Stetigkeit von ϕ und der Forderung, dass ϕ im Unendlichenverschwindet,folgtdieEndlichkeitvon
ϕ.
Nutzen von ii) und iii): Kann man die Schrödingergleichung in den Bereichen
lösen, wo V(x) stetig ist, so liefern die Stetigkeit von ϕ und ϕ ′ bzw.
Gl. (5),(6) Randbedingungenan den ” Nahtstellen“,woV(x) einenSprung
macht odereine δ-Funktions-Singularitätbesitzt.
6.2 EindimensionalesKastenpotential(Elektron aufder Stange)
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(a > 0)