Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

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Wir werden später sehen, dass sich die bohrsche Vorstellung von Elektronenbahnennicht halten lässt. Die Ionisierungsenergieund der Ausdruck für den (ersten) bohrschen Radius aB = a1 = (4πε0) ¯h2 me 2 (20) kommenjedochinderexaktenTheorielaufendvor,sodasseszweckmäßig ist,sich die entsprechendenZahlenwertezu merken. Mithilfe dersommerfeldschenFeinstrukturkonstante 1 e2 1 α = = 4πε0 ¯hc 137.04 lässt sich einnützliches MerkschemafürLängenaufstellen: aB = (4πε0) ¯h2 me2 = 0.5·10−8 cm BohrscherRadius ¯h mc = λc = λc r0 = α 2 aB = 2π = αaB = 0.4·10 −10 cm Compton-Wellenlänge/2π e 2 (4πε0)mc 2 = 0.3·10−12 cm klassischerElektronenradius αaB = e2 ¯h 2 ¯h = me2 mc α 2 aB = ¯hc 1 4πε0 e 4 ¯h 2 c 2 ¯h 2 1 e2 = me2 4πε0 mc2 ↑ Coulombenergie=Massenenergie Die BahngeschwindigkeitvB dese − auf dembohrschenRadiusist vB = ω1·aB = Eion = α 2mc2 2 mc 2 RH = α 4π 1 aB 1 e (4πε0) 2 ¯h 2 = 13.6 eV =⇒ = 500 000 eV=0.5MeV = 110 000 cm −1 30 vB c = α = 1 137 für das Wasserstoffatom ist eine nichtrelativistische Theorie ausreichend; für andere Atome ist e 2 durch Ze 2 zu ersetzen, bei Atomen mit Z 50 sindrelativistische Korrekturenwichtig
4.4 Erfolge undGrenzender älterenQuantenheorie Erfolge: i) korrektesErgebnis für Termspektrendes H-Atoms(und wasserstoffähnlicher Atome:He + ,Li ++ ) ii) Schwingungs- und Rotationsspektrenvon Molekülen (harmonischer Oszillator) iii) mithalbklassischerTheoriederWechselwirkungzwischenStrahlung und Materie: Auswahlregeln und Wahrscheinlichkeiten möglicher Quantenübergänge iv) normaler Zeeman-Effekt Grenzen: i) Anwendbarkeitnurauf (mehrfach) periodischeSysteme ↦→ keineMethodezur Quantisierung aperiodischerBewegungen ↦→ keine Stoßvorgänge (Franck-Hertz-Experiment im Detail unverstanden) ii) funktioniertim Wesentlichennurfür –harmonischen Oszillator –H-Atom nicht für Mehrelektronensysteme(He-Atom) iii) Drehimpulsquantisierung (MessungvonDrehimpulskomponentenin eine beliebigeRaumrichtungliefertimmer Vielfache von ¯h) iv) anomaler Zeeman-Effekt Prinzipielle Schwierigkeit: keine Rechtfertigung der Quantisierung klassischer Bahnen (rein formale Einschränkungen für Lösungen der klassischen Bewegungsgleichungen) Dilemma: Bahnbegriff ❀ stetigeÄnderungenvon LageundImpuls ❀ stetigerEnergieaustausch quantenhafterEnergieaustausch❀eskann keineBahn existieren 31
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Seite 3 und 4: 5.5.2 Erwartungswerte . . . . . . .
Seite 5 und 6: 1 AufgabengebietderQuantenmechanik
Seite 7 und 8: 2 Versagenderklassischen Physik 2.1
Seite 9 und 10: Die BewegungsgleichungdesElektronsl
Seite 11 und 12: 2.4 Hohlraumstrahlung 2.4.1 Klassis
Seite 13 und 14: Diese Ableitung soll in den Übunge
Seite 15 und 16: ε(ω,T) = u(ω,T) = ω2 π 2 c 3
Seite 17 und 18: für Frequenzen < ωA = A/¯h kann
Seite 19 und 20: Wellenlängen: λ = c ν ❀ = 2πc
Seite 21 und 22: 3 Quantenverhalten-das ” einzige
Seite 23 und 24: BeispielMittelachse: Weg gleich wei
Seite 25 und 26: P12 ist nichtdie Summevon P1 und P2
Seite 27 und 28: Schirmerhältlich? Messung des Impu
Seite 29 und 30: 4 Bohrsche Quantisierung 4.1 Bohrsc
Seite 31 und 32: Umlaufzeit: qmax(E) τ = 2 qmin(E)
Seite 33: kannman beideGrößen, an und ωn,s
Seite 37 und 38: Also: Licht - k, ω gegeben =⇒ p,
Seite 39 und 40: umschreiben: ψ(x,t) = 1 √ 2π¯h
Seite 41 und 42: |ψ(x,t)| 2 = 1 √ e πξ(t) −(x
Seite 43 und 44: 5.4 Die Schrödingergleichung Gesuc
Seite 45 und 46: Rechtfertigung:durch Vergleichmit E
Seite 47 und 48: ii) unsereRegelnsindnicht eindeutig
Seite 49 und 50: Falls also d 3 x ψ ∗ (x,0)ψ(x,
Seite 51 und 52: p = Allgemein: F(p) = dp dx ′¯h
Seite 53 und 54: |ψ(x,t)| 2 Wahrscheinlichkeitsdich
Seite 55 und 56: KopenhagenerDeutung: i) DieBeschrei
Seite 57 und 58: Wahrscheinlichkeitsdichte: w(x) =
Seite 59 und 60: 6 Eindimensionalezeitunabhängige P
Seite 61 und 62: Schrödingergleichung: − ¯h2 2m
Seite 63 und 64: zw. E = − ¯h2 2ma 2{(k0a) 2 −(
Seite 65 und 66: Bei ∞ hohen Potentialwänden: ∞
Seite 67 und 68: Ziel: Untersuchung des Tunnelns fü
Seite 69 und 70: Dieslässt sich wiederdurch E undU
Seite 71 und 72: 6.6 Verhalten der Wellenfunktion in
Seite 73 und 74: E > Vmin =⇒ ∃ 2 klassischeUmkeh
Seite 75 und 76: iii) V(x → ±∞) = V±∞ a) E <
Seite 77 und 78: MankannetwadenZustandeinesklassisch
Seite 79 und 80: Gegenüberstellung: Vektorraum(3D)
Seite 81 und 82: entwickeln |ϕ〉 = ∑cj βj cj
Seite 83 und 84: DerGrenzübergang(3)lieferteinekont
Seite 85 und 86:
linearer Operator: A(a|α〉+c|γ
Seite 87 und 88:
Aψi ψj ai −aj ψi ψj =
Seite 89 und 90:
Anmerkungen: 1) DerDirac-Notation(b
Seite 91 und 92:
Nach der Messung der durch den Oper
Seite 93 und 94:
= 〈ψ|(A− Ā)(B− ¯B)−(B−
Seite 95 und 96:
Wenn wir ein freies Teilchen haben,
Seite 97 und 98:
(A hermitesch Eigenzustände bilde
Seite 99 und 100:
AB|ψn〉 = BA|ψn〉 = Ban|ψn〉
Seite 101 und 102:
aber: Messungen geben keinen Zugrif
Seite 103 und 104:
(Die Richtung A Erhaltungsgröße
Seite 105 und 106:
EineMöglichkeit: Lösen des Eigenw
Seite 107 und 108:
= bN|λ〉 −b|λ〉 = (λ−1)b|
Seite 109 und 110:
Analogzu (17) zeigt man: (12) Zusa
Seite 111 und 112:
8.2 HarmonischerOszillator in derOr
Seite 113 und 114:
Vergleichderklassischenundderquante
Seite 115 und 116:
folgt,dassderDrehimpuls L ≡ x× p
Seite 117 und 118:
VollständigistdersokonstruierteSat
Seite 119 und 120:
zweiSpinwellenfunktionenmultiplizie
Seite 121 und 122:
Ferner ˆLi, ˆp 2 = ˆLi ˆp l ˆ
Seite 123 und 124:
= − ˆp ˆx ˆx ˆr ˆr ˆp +
Seite 125 und 126:
ˆL 2 hängt nur von den Winkelkoor
Seite 127 und 128:
wählt man die Komponente Lz. Wir w
Seite 129 und 130:
ii) m > 0 (40a) ⇒ mit l ≥ 0 l
Seite 131 und 132:
setze l − p = m Form ( p = l −m
Seite 133 und 134:
= ¯h −sin ϕ±icos ϕ i ±i
Seite 135 und 136:
Für die Berechnung betrachten wir
Seite 137 und 138:
Assoziierte Legendre- Funktionen: P
Seite 139 und 140:
mit p 2 r = −¯h 21 r ∂ 2 r (20
Seite 141 und 142:
∑ ν ✘ −✘α ✘✘ 2 ρ l+
Seite 143 und 144:
EinigeEigenschaften der Laguerre-Po
Seite 145 und 146:
9.4 Zusammenfassung 9.4.1 Energie,
Seite 147 und 148:
Diskussion E = E n,l E = En Bedeutu
Seite 149 und 150:
10 Näherungsmethodenin derQuantenm
Seite 151 und 152:
(iii) WKB-Verfahren nach Wentzel,Kr
Seite 153 und 154:
in (10b): ∑ c l (1) ml ψ (0)
Seite 155 und 156:
+ ∑ l=n l=m + ∑ l=n H S nl HS l
Seite 157 und 158:
ZweiteOrdnung: Falls ein wichtiges
Seite 159 und 160:
wo |ϕnα(λ)〉 = |ϕnα(λ)〉
Seite 161 und 162:
H0 = p2 2m − e2 4πε0r H S = eφ
Seite 163 und 164:
E22 = E23 = E (0) 2 E24 = E (0) 2
Seite 165 und 166:
˙cm(t) = 1 i¯h ∑ n H S mn(t) e
Seite 167 und 168:
ˆH S 1 ∞ m0 (ω) = − dt δ(t)
Seite 169 und 170:
P l→m(t) = |c (1) m (t)| 2 = |A m
Seite 171 und 172:
Pi→f(t) = Afi 2 4sin 2 Ef−Ei
Seite 173 und 174:
EskannnurdieEnergieaufgenommenbzw.a
Seite 175 und 176:
cn(−∞) = δ nl c (1) m (t) = 1
Seite 177 und 178:
Polarisation: P(t) = N¯p(t) = χε
Seite 179 und 180:
10.5 Variationsprinzip Das Eigenwer
Seite 181 und 182:
10.6 WKB-Methode(Wentzel-Kramers-Br
Seite 183 und 184:
Lösungen: Airyfunktionen = Lineark
Seite 185 und 186:
Diesist aber geradederTerm,derin (8
Seite 187 und 188:
= 1 2 ǫijk ǫjkm 2δim Bm = Bi
Seite 189 und 190:
|e| ¯h µB = 2m0 BohrschesMagneton
Seite 191 und 192:
in (20): e −if − ¯h2 2m ∇
Seite 193 und 194:
e − könnennicht in denBereichdes
Seite 195 und 196:
Gesamthilbertraum= tensorielles Pro
Seite 197 und 198:
Wasserstoff-ähnlichesAtom(Kernladu
Seite 199 und 200:
11.9 AnomalerZeeman-Effekt (H-Atom,
Seite 201 und 202:
11.10 Paschen-Back-Effekt (H-Atom,
Seite 203 und 204:
• ϕ (1) l ϕ (2) m einetwask
Seite 205 und 206:
Dann ist +sin ϑsin ϕ −isin ϑ
Seite 207 und 208:
Tendenz, im Bestreben sehr genau zu
Seite 209 und 210:
wobei P(a,b) = 〈ψ|(σ1·a)(σ2·
Seite 211 und 212:
Undeinesfür einenWinkelbereich: P(
Seite 213 und 214:
JederDetektorhateinen Schaltermit d
Seite 215 und 216:
Die Verdrahtung der Detektoren ist
Seite 217 und 218:
leuchtetdortdieroteLampeauf,beim Er
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