Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

10 Näherungsmethodenin derQuantenmechanik
10.1 Übersicht
Nur sehr wenige Systeme können in der Quantenmechanik exakt behandelt
werden – im Wesentlichen einige eindimensionale und kugelsymmetrische
Probleme (wobei letztere auf eindimensionale Probleme zurückgeführtwerdenkönnen)
exaktbehandelbarin 1D:
• Kastenpotentiale
•
1
cosh 2 x –Potential
• HarmonischerOszillator (wichtigsterFall)
exaktbehandelbarekugelsymmetrische Fälle:
• Kastenpotential
• dreidimensionalerharmonischer Oszillator
• H-Atom
Näherungsmethoden
(i) Störungsrechnung
(ii) Variationsverfahren
(iii) WKB-Verfahren
(iv) dembesonderenProblemangepassteVerfahren(tight-binding,Freie-
Elektronen-Näherung,LCAO)
(i) Störungsrechnung:
prinzipiellanwendbar,wennderHamiltonoperatoreineszuuntersuchenden
Systems sich additiv aus dem Hamiltonoperator eines Systems,
dessen Lösung bekannt oder exakt bestimmbar ist, und einer
kleinenStörungzusammensetzt
H = H0 +H S
EigenwerteundEigenvektorenvon H0 seienbekannt.
Der Störoperator HS muss in einem geeigneten Sinn klein sein im
Vergleichzu H0;z. B.kann man sich vorstellen,dass
¯H
S
≪ | ¯H0|
(Erwartungswertvon H S ist istbetragsmäßig sehrvielkleiner als Erwartungswertvon
H0 –in einerhinreichendenZahl vonZuständen)
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