Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Allgemein setztman an
1
2 ln
dS
dx
+ln|A| = ˜C
|S ′ (x)|· A = C A = C
|S ′ |
S(x) = S0(x)+ ¯h
i S1(x)+
Die niedrigsteOrdnungin ¯h von (82a) wird
2 dS0
= 2m
dx
E−V(x)
x
S0(x) = ± dx ′
2m E−V(x ′ )
ψ0(x) = ∑ ±
(83)
2 ¯h
S2(x)+... (84)
i
C±
e
p(x) ±i dx p(x)/¯h
(85)
(86)
und (87a)
mit p(x) = 2m(E−V(x))
(87b)
Falls E < V(x) (Tunneleffekt), sind die Lösungen exponentiell ansteigend
bzw. abfallend; falls E > V(x), sindsieoszillatorisch.
Beispiel: BestimmungderBindungszuständeim PotentialV(x)
Zur Bestimmung des Verhaltens in der Nähe des linken Umkehrpunkts
gehenwir folgendermaßenvor:
Transformation:V−E → V
x−b → x
Entwicklungvon V bis zur linearen Ordnung:V(x) = V ′ x,V ′ < 0
die Schrödingergleichungwird in derNähevon b
d2ψ dx2 = −c2
−2mV ′
x ψ mit c =
1 2
¯h
178
(88)