Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

γ (2)
n istzunächstbeliebig,kanno.B.d.A.Nullgesetztwerden(miteinerähnlichen
Diskussionwie oben γn).
Endergebnisbis zur zweitenOrdnung (λ = 1):
H S mn =
ψ (0)
m
H S
ψ (0)
n
sind die Matrixelemente des Stör-Hamiltonoperators mit den ungestörten
Eigenvektoren.Dann haben wir
En = E (0)
n + H S nn + ∑ l=n
|ψn〉 =
+ ∑ l=n
1− 1
2 ∑ l=n
HS
ln
2
E (0)
n −E (0)
l
H S ml HS ln
HS nl
2
E (0)
n −E (0)
l
2
E (0)
n −E (0)
m E (0)
n −E (0)
−
l
ψ
(0)
n + ∑
m=n
HS nn HS mn
E (0)
n −E (0)
m
HS mn
E (0)
n −E (0)
m
2
(20)
(23)
ψ
(0)
m
(24)
Die Eigenvektorensind bis zur entsprechendenOrdnung normiert. Terme
erster Ordnung sind einfach unterstrichen, solche zweiter Ordnung zweifach.
TermeersterOrdnungenthalteneinMatrixelementvon H S (multiplikativ).
TermezweiterOrdnungenthaltenzweiMatrixelementevon H S .
InersterOrdnung
En =
ψ (0)
n
H0+H S
ψ (0)
n
=
ψ (0)
n
H
ψ (0)
n
= Erwartungswertd.Hamiltonoperatorsim ungestörtenZustand
Für den Grundzustand (n = 1) ist der zweite
störungstheoretische Term
der Energie immer negativ , d.h., wenn die Störung die
E (0)
1 −E(0)
l < 0
Grundzustandsenergie in erster Ordnung unverändert lässt, führt sie in
niedrigster nichtverschwindender (also zweiter) Ordnung immer zu einer
Energieabsenkung.
H
AnwendbarkeitderStörungsrechnung:
S nl
E (0)
n −E (0)
≪ 1
l
(Reihe muss aber nicht konvergieren, (23) und (24)
könnentrotzdemguteNäherungensein)
BeivergleichbarerGrößenordnungvonMatrixelementenhabennaheEnergieniveaus
einengrößerenEinflussauf die Verschiebungvon E (0)
n als ferne
(wegenderEnergienenner).
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