Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

❀ EinsetzenderReihenentwicklungin (1) (die Eigenwertgleichung)
H0 ∑ ν
ψ (ν)
n
λ ν + H S ∑ ν
ψ (ν)
n
λ ν+1 = ∑ ν,µ
Koeffizientenvergleich bis zur Ordnung λ 2 :
(8)
(9)
λ 0 :
λ 1 :
λ 2 :
ψ (0)
n ψ (0)
m
ψ (0)
n ψ (1)
m
ψ (0)
n
ψ (2)
m
λ 0 : H0 ψ (0)
n
λ 1 : H0 ψ (1)
n
λ 2 : H0 ψ (2)
n
= δnm
+ n
+
ψ (1)
ψ (0)
m
ψ (1)
n
= E (0)
n
ψ (0)
n
+H S
ψ (0)
n
+H S
ψ (1)
n
ψ (1)
m
E (ν)
n
ψ (µ)
n
λ ν+µ
(9)
(10a)
= 0 (10b)
+
ψ (1)
= 0 (10c)
= E (0)
n
= E (0)
n
ψ (2)
n
ψ (1)
n
ψ (2)
n
+E (2)
n
ψ (1)
n
m
+E (1)
n
ψ (0)
n
+E (1)
n ψ (1)
n
ψ (0)
n
Aufgabe: sukzessiveBestimmungvon E (1)
n ,E (2)
n
,...
, ,...
aus diesenbeidenGleichungssystemen
ψ (2)
n
(11a)
(11b)
(11c)
Indernullten OrdnungsinddieGleichungen automatisch erfüllt.
Die ψ (0)
n sind ein vollständiges ONS jede Lösung kann nach ihnen
entwickeltwerden,insbesondereauch .
Also:
ψ
(1)
n = ∑
l
ψ (2)
n
= ∑ l
c (1)
nl
c (2)
nl
ψ (0)
l
ψ (0)
l
ψ (ν)
n
Störungstheorie1.Ordnung (Terme ∝ λ 1 )
(12a) in (11b):
∑ l
c (1)
nl H0ψ
(0)
l
E (0)
l
ψ (0)
l
+H S
ψ (0)
n
= ∑ l
148
c (1)
nl E(0) n ψ (0)
l
+E (1)
n
ψ (0)
n
(12a)
(12b)