Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

= bN|λ〉 −b|λ〉 = (λ−1)b|λ〉 (12)
λ|λ〉
❀ ist |λ〉 Eigenvektor zum Eigenwert λ, so ist b|λ〉 Eigenvektor zum Eigenwert
λ−1 ,vorausgesetzt esgilt b|λ〉 = 0
analog
Nb † |λ〉 = b † bb † |λ〉 = b
(9) †
b †
b+1
|λ〉 = b † (N+1)|λ〉
= (λ+1)b † |λ〉 (13)
b † |λ〉 istEigenvektorzum Eigenwert λ+1
WegenUngleichung(10) gilt:
0 ≤ 〈λ|N|λ〉 = 〈λ| λ|λ〉 = λ〈λ|λ〉 = λ also λ ≥ 0. (14)
Annahme: λ ∈ R, λ ≥ 0, ansonstenbeliebig
❀ mit (12) können wir eine Folge von Eigenvektoren zu den
Eigenwerten λ−1, λ−2, λ−3,... konstruieren;
derenNormensind:
bλ = λ 1 1
b † bλ 2 = |λ〈λ| λ〉| 2 = λ 1 2 λ
b2λ = (λ−1) 1
2 bλ = (λ−1) 1
2 λ 1 2λ , usw.
falls λ ∈ N,sinddieseNormenalle= 0(denndiedesAnfangsvektorsist
= 0) ❀ im Prinzip echteEigenvektoren
aber:dieFolge λ−1, λ−2, usw.erreicht negativeWerte!!«
λ mussganzzahlig sein: λ = n, n ∈ N0, denndann ist
b n+1 λ = (λ−n) 1 2 (λ−n+1) 1 2 ... λ = 0,
d.h., der (n + 1)ste Vektor der Folge ist der Nullvektor und
weitereAnwendungenvonbliefernkeineEigenvektorenmehr
(b0 = 0).
⇒ Konstruktionsverfahrenfür Eigenvektoren:
Beginnemit einembekanntenEigenvektor|n〉 zum E.W.n
n-maliges Anwenden von b ⇒ n weitere E.V. mit E.W. n − 1, n −
2,...0
Anwendenvonb † liefertEigenvektorenzudenEigenwertenn+1, n+
2, usw.
Damit erhalten wir Eigenvektoren zu allen natürlichen Zahlen als Eigenwerten.AndereEigenwertekönnen,wiewirgesehenhaben,nichtvorkommen.
Außerdem wissen wir, dass bei einem eindimensionalen Potential
keine Entartung vorkommen kann, wenn die Wellenfunktionen normierbar
sind (Übungen). Das heißt, wir haben auf diese Weise das Eigenwertproblem
vollständig gelöst – vorausgesetzt,wir können einen einzigen Eigenvektorbestimmen.
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