Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

weitergilt [siehe(4)]
1
σ1·a|ψ〉 = axσ1x +ayσ1y +azσ1z √2 |z+〉 1 |z−〉 2−|z−〉 1 |z+〉 2
= 1
√ ax |z−〉 1 |z−〉 2−|z+〉 1 |z+〉 2
2
+ay
+az
i|z−〉 1 |z−〉 2 +i|z+〉 1 |z+〉 2
|z+〉 1 |z−〉 2 +|z−〉 1 |z+〉 2
(12a)
und man verifziert leicht, dass jeder der drei Zustände in eckigen Klammern
orthogonal auf |ψ〉 ist und dass sie außerdem paarweise orthogonal
sind.
und
⇒ 〈ψ|σ1·a|ψ〉 = 0 (13a)
σ2·b|ψ〉 =
1
√2
bxσ2x +byσ2y +bzσ2z
|z+〉 1 |z−〉 2 −|z−〉 1 |z+〉 2
= 1
√ bx |z+〉 1 |z+〉 2−|z−〉 1 |z−〉 2
2
+by −i|z+〉 1 |z+〉 2−i|z−〉 1 |z−〉 2
+bz
−|z+〉 1 |z−〉 2 −|z−〉 1 |z+〉 2
=
(12a) −σ1·b|ψ〉 (12b)
⇒ 〈ψ|σ2·b|ψ〉 = 0 (13b)
〈ψ|(σ1·a)(σ2·b)|ψ〉 = −〈ψ|(σ1·a)(σ1·b)|ψ〉 (13c)
unddiewechselseitigeOrthogonalitätderZuständein(12a)bzw.(12b)[die
ja bis aufsVorzeichenidentisch mit denenvon(12a) sind]führt zu 49
〈ψ|(σ1·a)(σ2·b)|ψ〉 =
2
−〈ψ|ax σx1
(13c)
1
2
bx +ay σy1
1
2
by +az σz1
1
bz|ψ〉
= −ax bx −ayby −azbz = −a·b (13d)
Mit (13) wird aus(11)
w(a,b) = 1
4 〈ψ|(1+σ1·a)(1−σ1·b)|ψ〉 = 1
4 (1−a·b)
= 1
(1+P(a,b)), (14)
4
49 Wirkönnenetwas ausführlicherunter Ausnutzung einerbekannten Identität schreiben
−〈ψ|(σ 1 ·a)(σ 1 ·b)|ψ〉 = −〈ψ|a·b|ψ〉−i〈ψ|σ·(a×b)|ψ〉.
DerTermmitdemVektorproduktistnull.
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