Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

⇒ ∑ j
αj αj
= 1
Vollständigkeitsrelation
7.4 Uneigentliche Vektoren(Diracvektoren)
Wenn das Spektrum des Hamiltonoperators einen kontinuierlichen Anteil
hat, reicht der bisher betrachtete Raum, d.h. der Raum der Hilbertvektoren
nicht aus. Die Separabilität geht verloren, man erhält überabzählbare
Mengenlinear unabhängigerVektoren.
KontinuierlichesSpektrum ❀ VerlustderSeparabilität
❀ uneigentlicheVektoren
↑
erhältlich durch Grenzwertprozesse aus Hilbertraumvektoren
(effektive ErweiterungdesHilbertraums)
abzählbaren orthonormierten Satz von eigentlichen, d.h. Hilbertvektoren{
αj }, j = 0,1,2,...
ersetzeformal j → (p, ∆p) p ∈ N, ∆p = 1
bilde Skalarproduktemit festenVektoren|ψ〉
Grenzübergang:
αp,∆p
ψ ψ(p) = lim
∆p→0 ∆p
verkleinere ∆p zwecks
Approximation kontinuierlichen
Spektrums
DieBegründungfürdenFaktor 1
√∆p sehenwirspäter;eristbeimÜbergang
von einerSummezu einem Integralnützlich.
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