pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

6 2. ALCUNE NOZIONI DI TOPOLOGIA DI R n
si ha una nozione di modulo o di distanza tra punti. Similmente, non può essere data una nozione di insieme
limitato in un contesto così generale.
Definizione 2.12. Siano (X, τ1) e (X, τ2) due spazi topologici sopra lo stesso insieme X. Diremo che τ1
è più fine di τ2 se τ1 ⊇ τ2, diremo che è strettamente più fine se tale inclusione è stretta. Le due topologie si
dicono equivalenti se τ1 = τ2. Si osservi che un intersezione finita di topologie è una topologia.
Esempio 2.13. Sia X un insieme. Poniamo τ1 = {∅, X} topologia banale e τ2 = {A : A ⊆ X} topologia
discreta. Tali insiemi sono topologie su X e sono rispettivamente la meno fine e la più fine topologia che si
possa mettere su X.
Osservazione 2.14. Una descrizione completa di tutti gli aperti di un generico spazio topologico è spesso
impossibile. A tal proposito si individua una particolare classi di aperti in grado di ricostruire l’intera topologia.
Nel caso di R, questa classe era data dagli intervalli aperti, o dalle palle centrate nei punti.
Definizione 2.15. Sia (X, τ) uno spazio topologico. Diremo che B ⊆ τ è una base per la topologia τ se
ogni aperto di τ può essere scritto come unione di elementi di B.
Ci si può porre anche il problema inverso: data una collezione B di sottoinsiemi di X, quali proprietà deve
avere affinché esista una topologia τ su X tale che B ne sia una base?
Proposizione 2.16. Sia X insieme e sia data una collezione B di sottoinsiemi di X. Allora B è base per
una topologia su X se e solo se dati A, B ∈ B e x ∈ A ∩ B esiste C ∈ B tale che x ∈ C e C ⊆ A ∩ B. Gli aperti
di tale topologia sono X, ∅ e le unioni arbitrarie di elementi di B.
Definizione 2.17. Siano X, Y spazi topologici, f : X → Y è continua in a ∈ X se e solo se per ogni intorno
V di f(a) si ha che la controimmagine f −1 (V ) := {x ∈ X : f(x) ∈ V } è intorno di a in X. Se f è continua
in ogni punto, diremo che è continua in X. Si ha che f è continua in X se e solo se la controimmagine di ogni
aperto è aperta, o equivalentemente se la controimmagine di ogni chiuso è chiusa.
Osservazione 2.18. Non è detto invece che se U è aperto e f : X → Y è continua si abbia f(U) aperto!
Ci poniamo ora il problema di porre una topologia su X = R n che in qualche modo abbia le proprietà della
topologia usuale di R e possa essere descritta allo stesso modo. La costruzione che presenteremo è valida per
spazi più generali di R n .
Proposizione 2.19. Siano x, y ∈ Rn . La distanza euclidea di x = (x1, ..., xn) da y = (y1, ..., yn) è data da:
d(x, y) := x − y = n
(xi − yi) 2 .
Si ha d(x, y) = d(y, x), d(x, y) ≥ 0 e se d(x, y) = 0 allora x = y, inoltre se x, y, z ∈ R n si ha d(x, y) ≤
d(x, z) + d(z, y). Definiamo per ogni a ∈ R n , r > 0:
(1) la palla aperta di raggio r centrata in a B(a, r[:= {x ∈ R n : x − a < r};
(2) la palla chiusa di raggio r centrata in a B(a, r] := {x ∈ R n : x − a ≤ r}.
Si prova che l’insieme delle palle aperte è base per una topologia su R n .
Dimostrazione. Siano B(x1, r1) e B(x2, r2) due palle aperte. Sia x ∈ B(x1, r1)∩B(x2, r2) e proviamo che
esiste δx > 0 tale che B(x, δx) ⊆ B(x1, r1) ∩ B(x2, r2). Dato z ∈ B(x, δx) si ha d(z, x1) ≤ d(z, x) + d(x, x1) =
δx + d(x, x1) e d(z, x2) ≤ d(z, x) + d(x, x2) = δx + d(x, x2). Affinché si abbia z ∈ B(x1, r1) ∩ B(x2, r2) si deve
avere d(z, x1) < r1 e d(z, x2) < r2, e quindi è sufficiente scegliere δx < min{r1 − d(x, x1), r2 − d(x, x2)}. Si noti
che r1 > d(x, x1) e r2 > d(x, x2), quindi δx > 0.
Definizione 2.20. Diremo che la successione {xk}k∈N di R n converge a x ∈ R n se si ha
i=1
lim
k→+∞ xk − x = 0.
Con queste nozioni di palle e convergenza di successioni si vede che gli asserti enunciati per R rimangono
validi anche in R n , inoltre è possibile dire quando un sottoinsieme di R n è sequenzialmente compatto:
Teorema 2.21 (Heine-Borel). Un sottoinsieme di R n è sequenzialmente compatto se e solo se è chiuso e
limitato (per la distanza euclidea).
In R n è possibile definire un’altra distanza: