pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

216 G. SISTEMI 2 × 2 DI EQUAZIONI ORDINARIE LINEARI DEL PRIMO ORDINE
Osservazione G.4. Se b = 0 nell’equazione per ˙x non compare più l’incognita y, pertanto si tratta di
risolvere l’equazione ordinaria ˙x = ax + f(t). Detta φ(c1, t) la sua soluzione generale (che dipenderà da una
costante c1), si può sostituire nella seconda equazione ˙y = dy + cφ(c1, t) + g(t) ottenendo un’altra equazione
ordinaria dove compare la sola incognita y. La soluzione di quest’equazione dipenderà da due costanti c1, che
compare nel termine noto, e c2.
Un ragionamento del tutto analogo può essere fatto se c = 0 invertendo i ruoli di x e y.
Indichiamo con A la matrice del sistema omogeneo, con B(t) i termini noti e sia H(t) la matrice che ha per
colonne i coefficienti della y e B(t), ovvero:
a b
f(t)
b f(t)
A = , B(t) = , H(t) =
.
c d
g(t)
d g(t)
Inoltre indicheremo con T = tr(A) = a + d la traccia di A, con D = det(A) = ad − bc il determinante di A, e
con h(t) = det(H(t)) = bg(t) − df(t). Per le osservazioni precedenti, da questo momento in poi consideriamo il
caso con b = 0 e c = 0.
Procedura risolutiva
(1) Derivazione dell’equazione nella sola incognita x:
by = ˙x − ax − f(t)
Riscrivendo il sistema dato, si ha:
.
˙y = cx + dy + g(t)
Derivando la prima equazione, si ottiene b ˙y = ¨x − a ˙x − f ′ (t).
Sostituiamo l’espressione di ˙y ottenuta dalla seconda equazione:
b(cx + dy + g(t)) = ¨x − a ˙x − f ′ (t).
Riscrivendo tale espressione si ha ¨x − a ˙x − bcx − bdy − f ′ (t) − bg(t) = 0.
Sostituiamo l’espressione di by ottenuta dalla prima equazione:
¨x − a ˙x − bcx − d( ˙x − ax − f(t)) − f ′ (t) − bg(t) = 0.
Otteniamo quindi l’equazione nella sola variabile x:
Tale equazione si riscrive come:
¨x − a ˙x − bcx − d ˙x + adx + df(t) − f ′ (t) − bg(t) = 0.
¨x − (a + d) ˙x + (ad − bc)x + df(t) − f ′ (t) − bg(t) = 0
In notazione compatta, si ha ¨x − T ˙x + D x = ψ(t) dove ψ(t) = f ′ (t) + h(t).
(2) Studio degli autovalori del sistema: L’equazione caratteristica dell’omogenea associata è quindi:
λ 2 − T λ + D = 0,
e le sue soluzioni sono gli autovalori della matrice A, ovvero le soluzioni di det(A − λId) = 0.
Possono presentarsi i seguenti casi:
(a) se T 2 −4D > 0, l’equazione caratteristica ammette due radici reali distinte λ1 = (T − √ T 2 − 4D)/2
e λ2 = (T + √ T 2 − D)/2, pertanto la soluzione generale dell’omogenea associata è Φ(c1, c2, t) =
c1e λ1t + c2e λ2t al variare di c1, c2 ∈ R;
(b) se T 2 − 4D < 0, l’equazione caratteristica ammette due radici complesse coniugate λ1 = T + iβ
e λ2 = T − iβ dove β = |T 2 − 4D|, pertanto la soluzione generale dell’omogenea associata è
Φ(c1, c2, t) = c1e T t cos(βt) + c2e T t sin(βt) al variare di c1, c2 ∈ R;
(c) se T 2 − 4D = 0, l’equazione caratteristica ammette una radice reale doppia λ = T pertanto la
soluzione generale dell’omogenea associata è Φ(c1, c2, t) = c1e T t + c2te T t al variare di c1, c2 ∈ R.
(3) Soluzione generale del sistema: Per trovare la soluzione t ↦→ x(t), è necessario sommare a
Φ(c1, c2, t) una soluzione particolare xp(t) dell’equazione ¨x − T ˙x + D x = ψ(t). Tale soluzione può
essere determinata con il metodo dei coefficienti indeterminati o con il metodo di variazione delle