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Svolgimento. Scriviamo:
ω =
22. FORME DIFFERENZIALI 113
y
dx + α
x x
y dy + 2 dx + dy =: ω1 + df2(x, y)
con f2(x, y) = 2x + y. Pertanto ω è chiusa se e solo se ω1 è chiusa. La condizione di chiusura per ω1 porge:
∂ y ∂
= α
∂y x ∂x
x
y
1
2 √ xy = √ α ∂
∂x
1
2 √ 1
= α
xy 2 √ xy ,
α x
y
quindi α = 1. Poiché il primo quadrante aperto è semplicemente connesso, si ha che con questa scelta di α la
forma è esatta su di esso.
y x
ω = dx +
x y dy + df2(x, y)
Un potenziale sarà dato da u(x, y) = f1(x, y) + f2(x, y) + c, con f1 potenziale di ω1 e c ∈ R. Il potenziale di ω1
nullo in (1, 1) è dato da:
f1(x, y) = ω1,
dove γ (x,y) è un qualunque cammino nel primo quadrante congiungente (1, 1) a (x, y). Detto ω1 = ω x 1 dx+ω y
1 dy,
scelto un cammino composto da segmenti paralleli agli assi,
f1(x, y) =
x
1
ω x 1 (s, 1) ds +
y
1
γ (x,y)
ω y
1 (x, t) dt = 2(√ x − 1) + (2 √ x)( √ y − 1) = 2( √ xy − 1).
Si ha f2(1, 1) = 3, per cui se f1(1, 1) = 0 si dovrà prendere c = −1. Il potenziale desiderato è:
U(x, y) = 2 √ xy + 2x + y − 3.
Verifichiamo il risultato ottenuto: banalmente U(1, 1) = 2, inoltre ∂xU(x, y) = y/x+2 e ∂yU(x, y) = x/y+1.
Esercizio 22.24. Si consideri la forma differenziale:
1
ω = cos
(x − 1)y − 1
nell’aperto Ω = {(x, y) : (x − 1)y < 1}.
ay
dx + cos
((x − 1)y − 1) 2
a) Si disegni Ω e si dica se è semplicemente connesso;
b) si determini a ∈ R tale che ω sia esatta in Ω;
c) per tale a si calcoli il potenziale che in (0, 0) vale sin 1.
Svolgimento. Poniamo ω = ωx dx + ωy dy.
1
(x − 1)y − 1
1 − x
dy
((x − 1)y − 1) 2
a) Ω è la regione di piano delimitata dal grafico dell’iperbole y = 1
x−1 e contenente il punto (1, 0). Tale
regione è semplicemente connessa (esiste un’omotopia in Ω che porta un qualunque circuito in Ω in un
circuito appartenente ad un intorno stellato dell’asse y contenuto in Ω.