pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

B a C. Si ha allora:
I =
=
1 4−x
0
1
0
1
4−3x
xy dy dx +
15. INTEGRALI MULTIPLI 65
4 4−x
1
(4−x)/3
4
x (4 − x)2 − (4 − 3x) 2
dx +
2
4
xy dy dx
= x
0
2 (8 − 4x) dx + 8
x(4 − x)
9 1
2 dx = 5 4
+
3 9
= 5
4
+ 8x
3 9
2 − 8
3 x3 + x4
x=4
4 x=1
= 5
4 8 · 64
8 1
+ 8 · 16 − + 64 − 8 − −
3 9
3 3 4
= 5
4 64 67
+ − =
3 9 3 12
5 26
+ 7 =
3 3 .
Esercizio 15.8. Calcolare l’integrale doppio
I =
D
e x2
4 +y2
1
x
2
(4 − x) 2
2
4 − x
−
dx
3
4
x
2
4 + y2
− 1
dx dy
ove D è il dominio definito dalle limitazioni x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + 4y 2 ≤ 16.
Svolgimento. Parametrizziamo D in modo opportuno:
D = (x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2
4 + y2
≤ 4
= (x, y) ∈ R 2
x
2 : x ≥ 0, y ≥ 0, + y
2
2
≤ 4
= (2x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 4
= {(2ρ cos θ, ρ sin θ) : θ ∈ [0, π/2], 0 ≤ ρ ≤ 2}
La trasformazione di coordinate è ϕ(x, y) = (2ρ cos θ, ρ sin θ), il suo Jacobiano è
2 cos θ −2ρ sin θ
Jac(ϕ)(ρ, θ) =
sin θ ρ cos θ
Il modulo del determinante di tale matrice è 2ρ. Si ha allora:
I =
π/2 2
0
= π
2
0
e ρ2
|ρ 2 − 1| 2ρ dρ dθ = π
[e s (1 − s)] s=1
s=0 +
1
0
2
4
e s
ds + π
2
e s |s − 1| ds = π
2
[e s (s − 1)] s=4
s=1 −
0
1
0
4
= π
π
(−1 + e − 1) +
2 2 (3e4 − e 4 + e) = π(e 4 + e − 1).
Esercizio 15.9. Calcolare il seguente integrale doppio:
y
I = arcsin dx dy
x2 + y2 dove D è la semicorona circolare 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0.
Svolgimento. In coordinate polari si ha:
D
D = {(ρ cos θ, ρ sin θ) : 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}
da cui, ricordando che arcsin sin θ = θ solo se θ ∈] − π/2, π/2[:
I =
= 2
2 π
1 0
2 π/2
1
0
arcsin(sin θ) ρ dρ dθ = 2
θ ρ dρ dθ = 2
2
1
ρ dρ ·
1
2 π/2
1 0
π/2
0
1
(16x − 8x 2 + x 3 ) dx
e s (1 − s) ds + π
2
e s
ds
arcsin(sin θ) ρ dρ dθ
θ dθ = 3
8 π2 .
4
1
e s (s − 1) ds