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122 23. EQUAZIONI TOTALI E EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON AUTONOME
monotonia, se ¯t è un punto dove è definita la soluzione x = x(t), allora la soluzione è definita per ogni t > ¯t.
Inoltre si ha
lim t(x) − (log(x − 1) + x) = 0,
x→+∞
indipendentemente da α, pertanto tutte le soluzioni x = x(t) sono asintotiche per t → +∞ alla curva et =
(x − 1)ex .
i. Se α > 0 si ha che il minimo di g è e α − 1 > 0, quindi g(x) > 0 per ogni x ≥ 0. In particolare si ha
t = log g(x) per ogni x ≥ 0 e posto
tα = lim
x→0 + log g(x) = log(eα − 1)
si ha che tα è finito e rappresenta il tempo in cui la soluzione che parte da x(α) = 1 impiega per
raggiungere l’asse x = 0. Si osservi che tα < α (per t < tα la soluzione non è definita). Per la stretta
monotonia di g e del logaritmo, anche t = log g(x) è strettamente monotona, pertanto la soluzione
x(t), inversa di tale funzione, è strettamente monotona.
ii. Se α = 0 si ha che g(x) > 0 per ogni x ≥ 0 e g(0) = 0 e posto
tα = lim log g(x) = −∞
x→0 +
e quindi la soluzione x(t) raggiunge l’asse x = 0 asintoticamente per t → −∞. Per la stretta monotonia
di g e del logaritmo, anche t = log g(x) è strettamente monotona, pertanto la soluzione x(t), inversa
di tale funzione, è strettamente monotona.
iii. Se α < 0 allora il minimo di g è negativo, pertanto dal momento che g è monotona crescente e non
limitata esiste un’unico valore xα tale per cui g(xα) = 0, tale valore soddisfa (xα − 1)e xα = −e α e
necessariamente si ha 0 < xα < 1 perché e α > 0. Si ha che g(x) > 0 per x > xα e
tα = lim
x→(xα) +
log g(x) = −∞
pertanto la soluzione tende asintoticamente per t → −∞ al valore xα.
Riassumendo: la soluzione è sempre strettamente monotona crescente nel suo intervallo di definizione. Essa
è definita per ogni t ≥ α e il suo limite per t → +∞ è +∞. Tutte le soluzioni x = x(t) sono asintotiche
per t → +∞ alla curva e t = (x − 1)e x . Se α > 0, essa è definita in ] log(e α − 1), +∞[ e il suo limite per
t → t + α = log(e α −1) + vale 0 (si noti che tα < α). Se α = 0, essa è definita in tutto R e il suo limite per t → −∞
è 0. Se α < 0, essa è definita in tutto R e il suo limite per t → −∞ è 0 < xα < 1, dove xα è l’unico punto che
soddisfi (xα − 1)e xα = −e α .
Esercizio 23.4. Si studi ˙x = x 2 /(1 − tx), x(0) = α al variare di α ∈ R.
Svolgimento. Scriviamo l’equazione assegnata come equazione totale:
ω(t, x) = p(t, x) dx + q(t, x) dt = (1 − tx) dx − x 2 dt = 0.
Si ha ∂tp(t, x) − ∂xq(t, x) = −x + 2x = x = 0, quindi ω non è esatta, tuttavia si ha
∂tp(t, x) − ∂xq(t, x) = x = f(x)q(t, y) − g(t)p(t, y)
con g(t) = 0 e f(x) = −1/x. Pertanto per x = 0, l’equazione ammette il fattore integrante h(t, x) = e f(x) dx =
1/|x|. Si ha per x > 0:
1
h(t, x)ω(x, t) = − t dx − x dt =
x 1
dx − (t dx + x dt) = d(log(x) − tx)
x
Pertanto per x > 0 le soluzioni sono date in forma implicita da log(x) − tx = c1, c1 ∈ R. Per x < 0 si ha
1
h(t, x)ω(x, t) = + t dx + x dt =
−x 1
dx + (t dx + x dt) = d(− log(−x) + tx)
−x
Pertanto per x < 0 le soluzioni sono date in forma implicita da − log(−x) + tx = c2, c2 ∈ R. Possiamo inglobare
il tutto nell’unica scrittura F (t, x) := log(|x|) − tx = c, c ∈ R, x = 0.
Dovendo essere x(0) = α, è necessario che F (0, α) = c, quindi c = log |α|.
Osserviamo che tale insieme è simmetrico rispetto all’origine perché è lasciato invariato dalla sostituzione (t, x) ↦→
(−t, −x). Potevamo rendercene conto osservando che he posto s = −t e y(s) = −x(s) si ha:
dy
dt
(s) = −dx(−t)
ds dt ds = ˙x(−t) = x2 (−t)
1 − tx(−t) = x2 (s)
1 + sx(s) = y2 (s)
1 − sy(s) ,