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e d’altra parte:
19. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE 89
∂A1
∂y
z sin x 2z cos x
= −z − −
2 x x2 2z sin x
+
x3 ∂A1 y sin x 2y cos x
= −1 − −
∂z 2 x x2 2y sin x
+
x3
∂A2 d cos x d
= z + z 1 −
∂x dx x dx
1
x2
z sin x z cos x
sin x = − −
x x2 2z sin
+
x3 +
1 − 1
x2
z cos x
z sin x 2z cos x
= − −
x x2 2z sin
+
x3 + z cos x
∂A2 cos x
= −1 +
∂z 2 x +
1 − 1
x2
sin x
∂A3 1 d cos x d sin x 1 y sin x y cos x
= + y − y = − −
∂x 2 dx x dx x2 2 x x2 y cos x
−
x2 2y sin x
+
x3 = 1 y sin x 2y cos x
− −
2 x x2 2y sin x
+
x3 ∂A3 1 cos x sin x
= + −
∂y 2 x x2 Si ha dunque:
∂A3 ∂A2
−
∂y ∂z =
1 cos x sin x
+ −
2 x x2
− − 1 cos x
+
2 x +
1 − 1
x2
sin x = 1 − sin x
∂A1 ∂A3
−
∂z ∂x =
− 1 y sin x 2y cos x
− −
2 x x2 2y sin x
+
x3
1 y sin x 2y cos x
− − −
2 x x2 2y sin x
+
x3
= −1
∂A2 ∂A1
−
∂x ∂y =
z sin x 2z cos x
− −
x x2 2z sin
+
x3
z sin x 2z cos x
+ z cos x − − −
x x2 2z sin x
+
x3
= z cos x
Quindi rotA(x, y, z) = (1 − sin x, −1, z cos x) = B(x, y, z) e la soluzione è stata verificata essere corretta.
Esercizio 19.3. Siano dati i seguenti sottinsiemi di R 3 :
S = {x 2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0}
D = {x 2 + y 2 ≤ 1, z = 0}
γ = {x 2 + y 2 = 1, z = 0}
e sia
y
F (x, y, z) =
1 + z2 , x5z 100 − y, z + x 2
(1) si usi il teorema della divergenza per calcolare:
I := F · ˆn dσ
dove ˆn è la normale esterna alla superfice chiusa Σ = S ∪ D;
(2) Detta ω1 F la 1-forma differenziale canonicamente associata a F , si calcoli
S
γ +
ω 1 F
dove γ + è la curva γ orientata in senso antiorario nel piano z = 0;
(3) si verifichi il teorema di Stokes per il campo F sulla superficie S.
Svolgimento.
Indichiamo con C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0} il volume delimitato da Σ, denoteremo poi
F = (F1, F2, F3).
(1) Per il teorema della divergenza si ha:
F · ˆn dσ = F · ˆn dσ + F · ˆn dσ = divF dxdydz
Si ha poi
Σ
S
D
divF (x, y, z) = 0.
C