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18. INTEGRALI CURVILINEI, FORMULE DI GAUSS-GREEN 85
Svolgimento. Si ha ρ(0) = ρ(2π), quindi l’equazione data definisce una curva chiusa γ nel piano cartesiano.
Sia C la regione di piano circoscritta da tale curva. L’area di tale regione è data da:
A = dx dy.
Osserviamo che per le formule di Green, si ha:
(P (x, y) dx + Q(x, y) dy) =
γ
C
C
∂Q
∂x
∂P
− dxdy,
∂y
dove P : R 2 → R, Q : R 2 → R sono funzioni qualsiasi con derivate parziali continue in un aperto del piano
contenente C.
Nel nostro caso, determiniamo P , Q in modo tale che il membro di destra sia pari ad A. Una scelta possibile è
porre Q(x, y) = x, P (x, y) = 0 Ricordando che in coordinate polari si ha x(θ) = ρ(θ) cos θ, y(θ) = ρ(θ) sin θ, si
ha allora:
A =
= a 2
= a 2
= a 2
= a 2
= a2
8
= a2
4
x dy =
γ
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
2π
0
ρ(θ) cos θ · ρ ′
(θ) sin θ + ρ(θ) cos θ dθ
(1 + cos θ) cos θ ·
(1 + cos θ) 2 cos 2 θ dθ − a 2
− sin 2
θ + (1 + cos θ) cos θ dθ
2π
0
sin 2 θ(1 + cos θ) cos θ dθ
cos 2 θ + cos 4 θ + 2 cos 3 θ − (cos θ − cos 3 θ − cos 4 θ + cos 2 θ) dθ
2 cos 4 θ + 3 cos 3 θ − cos θ dθ = 2a 2
(e 2iθ + e −2iθ + 2) 2 dθ = a2
8
Pertanto l’area richiesta vale 3πa 2 /2.
0
(cos 4θ + 4 cos 2θ + 3) dθ = 3πa2
2
2π
cos 4 θ dθ = 2a 2
2π
e iθ + e −iθ
0
0
2π
(e
0
4iθ + e −4iθ + 4 + 2 + 4e 2iθ + 4e −2iθ ) dθ
2
4
dθ