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CAPITOLO 9
Lezione del giorno martedì 27 ottobre 2009 (1 ora)
Massimi e minimi per funzioni di più variabili
Osservazione 9.1. Siano X, Y normati, D ⊆ X aperto, f : D → Y una funzione, u ∈ X. Se per ogni
x ∈ D esiste ∂uf(x), si può considerare la funzione ∂uf : D → Y che associa ad x l’elemento di Y dato da
∂uf(x). A questo punto, fissato v ∈ X, ci si può chiedere se esista o meno ∂v(∂uf)(x) = ∂ 2 vuf(x).
Richiamiamo la seguente:
Definizione 9.2. Siano X, Y normati, D ⊆ X aperto, f : D → Y una funzione differenziabile in ogni punto
di D. Resta definita una mappa df : D → L(X, Y ) definita da p ↦→ df(p). Essendo lo spazio L(X, Y ) normato,
ha senso chiedersi se quest’applicazione sia a sua volta differenziabile come mappa tra spazi normati. In tal
caso, il differenziale di df in p prende il nome di differenziale secondo di f in p e si indicherà con f ′′ (p), D 2 f(p)
ecc. Si ha che D 2 f(p) ∈ L(X, L(X, Y )).
Definizione 9.3. Siano X, Y, Z spazi normati su K (al solito K = R o C. Un’applicazione B : X × Y → Z
si dice bilineare se per ogni x, x1, x2 ∈ X, y, y1, y2 ∈ Y , α, β ∈ K si ha:
B(αx1 + βx2, y) = αB(x1, y) + βB(x2, y)
B(x, αy1 + βy2) = αB(x, y1) + βB(x, y2),
ovvero la funzione B è lineare in ciascun argomento.
Il prodotto X × Y eredita da X, Y una naturale struttura di spazio vettoriale normato:
(1) le operazioni di somma e prodotto per scalari vengono eseguite componente per componente:
α(x1, y1) + β(x2, y2) = (αx1 + βx2, αy1 + βy2).
(2) in perfetta analogia al caso R 2 , è possibile definire ciascuna di queste norme ((x, y) ∈ X × Y , p ≥ 1):
(x, y)p|X×Y = (x p
X + yp Y )1/p , (x, y)∞|X×Y = max{xX, yY }
che risultano tra di loro tutte topologicamente equivalenti tra loro.
Definiamo lo spazio delle forme bilineari e continue su X:
L 2 (X × X, Y ) := {B : X × X → R bilineari e continue},
dove su X × X si pone una qualunque delle norme tra loro topologicamente equivalenti illustrate in precedenza
(norme topologicamente equivalenti restituiscono com’è noto la stessa nozione di continuità).
Proposizione 9.4. Siano X, Y spazi normati su K. Allora
L(X, L(X, Y )) L 2 (X × X, Y )
Osservazione 9.5. Supponiamo X = R n , Y = R, D aperto di X. Data f : D → R, il differenziale secondo
in un punto è una mappa da R n allo spazio L(R n , R). Si è visto come lo spazio L(R n , R) sia isomorfo a R n ,
pertanto il differenziale secondo di f è rappresentabile come una mappa lineare da R n a R n . Tutte le mappe
lineari da R n a R n sono rappresentabili medianti matrici quadrate n × n a coefficienti reali. In definitiva, fissato
p ∈ D esiste una ed una sola matrice H ∈ Matn×n(R) tale che
df(p)(h) (k) = 〈H h, k〉,
dove a destra vi è l’usuale forma quadratica associata ad una matrice quadrata H applicata a due vettori
h, k ∈ Rn (scriveremo anche H(h, k)). Tale matrice prende il nome di matrice hessiana di f in p e si indica con
Hf(p) oppure D2f(p) o anche ∇2f(p), Hess f(p). Si ha
⎛
⎞
Hess f(p) :=
⎜
⎝
∂x1x1f(p) . . . ∂2 x1xn f(p)
.
.
.
.
∂2 xnx1f(p) . . . ∂2 xnxn f(p)
35
⎟
⎠