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CAPITOLO 4
Lezione del giorno giovedì 8 ottobre 2009 (2 ore)
Calcolo di limiti
Corollario 4.1. Sia f : D → R, D ⊆ R2 . Supponiamo che (x0, y0) sia di accumulazione per D e che esista
ε > 0 tale che ] − ε, ε[×{y0} ∪ {x0}×] − ε, ε[⊂ D. Allora se lim f(x, y) esiste, si ha
lim
y→y0
lim f(x, y)
x→x0
= lim
x→x0
lim f(x, y)
y→y0
nel senso che i primi due limiti esistono e sono uguali al terzo.
(x,y)→(x0,y0)
(x,y)∈D
= lim
(x,y)→(x0,y0)
(x,y)∈D
f(x, y),
Esempio 4.2. Sia f(x, y) = x 2 /(x 2 + y 2 ) definita in D = R 2 \ {(0, 0)}. Per ogni m ∈ R, x > 0 definiamo
γm : [0, x] → D come γm(t) = (t, mt). La funzione γm è continua (ciascuna delle sue componenti è continua
come funzione da [0, x] in R), e se t = 0 si ha γ(t) ∈ D.
lim f ◦ γ(t) = lim f(t, mt) = lim
t→a + t→0 +
t→0 +
t2 t2 + m2 =
t2 1
.
1 + m2 Il valore di questo limite dipende dalla scelta di m e quindi dalla γm. Pertanto il limite non esiste.
Osservazione 4.3. Si osservi che, ad ogni modo, potrebbe capitare che esista il limite sulle semirette γm
per ogni m, e sia indipendente dalla scelta di m, tuttavia il limite di f non esista. Ciò avviene perché le rette
γm sono solo una tra le molte scelte possibili di funzioni continue il cui valore ad uno degli estremi sia
l’origine.
Esempio 4.4. Sia f(x, y) = xy2
x 2 +y 4 e sia D = R \ {(0, 0)}. Scelta γm(t) = (t, mt), si ha:
lim
t→0
f ◦ γ(t) = lim f(t, mt) = lim
t→0 t→0
mt3 t2 + m4 = lim
t4 t→0
mt
1 + m2 = 0,
t2 indipendentemente dalla scelta di m. Tuttavia se scegliamo γ+(t) = (t 2 , t), si ha:
mentre se scegliamo γ−(t) = (t 2 , −t), si ha:
lim
t→0 f ◦ γ+(t) = lim f(t
t→0 2 t
, t) = lim
t→0
4
t4 1
=
+ t4 2 ,
lim
t→0 f ◦ γ−(t) = lim f(t
t→0 2 −t
, −t) = lim
t→0
4
t4 = −1
+ t4 2 ,
Questi ultimi due limiti sono diversi, quindi f non ha limite per (x, y) → (0, 0).
se
Proposizione 4.5. Sia f : D → R m con D ⊆ R n , c di accumulazione per D. Si ha che f è continua in c
lim f(x) − f(c) = 0,
x→c
x∈D
o equivalentemente se per ogni j = 1, ..., m si ha
essendo f = (f1, ..., fm).
lim fj(x) = fj(c),
x→c
x∈D
Osservazione 4.6. Nello studio dei limiti in R 2 alcuni cambiamenti di coordinate possono semplificare il
problema.
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