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17. PREPARAZIONE ALLA PRIMA PROVA IN ITINERE 81
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Figura 2. La curva 4(x 2 + y 2 − x) 3 = 27(x 2 + y 2 ) 2 e alcune rette significative
Esercizio 17.5. Studiare al variare di a ∈ R il sottoinsieme di R 2 definito da:
(x 2 + y 2 ) 3 = 4a 2 x 2 y 2 .
Svolgimento. Se a = 0 l’insieme si riduce all’origine. Sia a = 0. Poniamo f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 3 − 4a 2 x 2 y 2 .
Si hanno simmetrie rispetto agli assi cartesiani, all’origine e alle bisettrici. Calcoliamo
f(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ 6 − 4a 2 ρ 4 cos θ sin θ = ρ 4 (ρ 2 − a 2 sin 2 2θ).
L’insieme (al più con la possibile esclusione di (0, 0)) è rappresentato da ρ2 = a2 sin 2 2θ. La condizione ρ ≥ 0 è
sempre vera. Per θ = π si ottiene anche ρ = 0. Quindi ρ(θ) = |a|| sin 2θ| rappresenta l’insieme. Si ha che ρ è
limitato, e il suo valore massimo accettabile viene assunto per θ = π/4 + kπ/2, k = 1, 2, 3, 4 e vale |a|. Quindi
l’insieme è compatto e contenuto nella palla centrata nell’origine di raggio |a|. Tale palla è tangente all’insieme
nei punti (|a| √ 2/2, |a| √ 2/2) e nei i suoi simmetrici rispetto agli assi. Si ha inoltre che | sin(2(θ + π/2))| =
| sin(2θ+π)| = | sin(2θ)|, quindi l’insieme è invariante per rotazioni di π/2. È quindi sufficiente studiare l’insieme
per 0 < θ < π/4, e poi ricostruire tutto sfruttando le simmetrie rispetto agli assi. Calcoliamo massimi e minimi
di x(θ) = ρ(θ) cos θ per 0 < θ < π/4. Si ottiene x(θ) = |a| sin 2θ cos θ = 2|a| sin θ cos2 θ = 2|a|(sin θ − sin 3 θ). La
derivata di questa espressione è
˙x(θ) = 2|a| cos θ(1 − 3 sin 2 θ)
Tale derivata è nulla in 0 < θ < π/4 se e solo se sin θ = 1/ √ 3 e cos θ = 2/3. Quindi il valore massimo
relativo e assoluto di x vincolato a θ è assunto in x ∗ = ρ ∗ cos θ ∗ = ρ(θ ∗ ) cos θ ∗ = |a|4/(3 √ 3). Calcoliamo
ρ ∗ sin θ ∗ = |a|(2/3) 3/2 . Consideriamo quindi il punto P = (|a|4/(3 √ 3), |a|(2/3) 3/2 ) e tutti i suoi simmetrici