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130 25. EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI LINEARI, SISTEMI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI
cui corrispondono le soluzioni in y della forma
1 + x
y(x) = ±
2
c + e−x
1 + x
= ±ex/2
2(3 + x(2 + x)) 2
cex + 2x2 + 4x + 6 .
dove c ∈ R.
(3) l’equazione data è di Bernoulli ed ammette la soluzione identicamente nulla. Per determinare le altre
soluzioni, poniamo z = y 1−2 = 1/y da cui y = 1/z. Derivando, si ottiene:
z ′ = − y′
= z − x2
y2 Siamo ricondotti allo studio di z ′ − z = −x 2 , tale equazione è lineare del primo ordine, la soluzione
generale dell’omogenea è ke x , k ∈ R, determiniamo una soluzione particolare con il metodo
dei coefficienti indeterminati: cerchiamo soluzione nella forma ax 2 + bx + c. Sostituendo, si ottiene
2ax + b − ax 2 − bx − c = −x 2 da cui si ricava a = 1, b − c = 0 e 2a − b = 0, quindi b = c = 2. Pertanto
la soluzione dell’equazione in z è z(x) = ke x + x 2 + 2x + 2. La soluzione dell’equazione in y è quindi:
al variare di k ∈ R.
y(x) =
1
ke x + x 2 + 2x + 2 ,
Esercizio 25.3. Si risolva il seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine e
si discuta la stabilità delle soluzioni del sistema omogeneo associato.
˙x − 3x − 2y = cos(2t)
˙y − 4x − y = 0
Svolgimento. Si ha
A =
3 2
4 1
cos(2t)
, B(t) =
0
Derivando la prima equazione, si ottiene 2 ˙y = ¨x − 3 ˙x + 2 sin(2t).
Sostituiamo l’espressione di ˙y ottenuta dalla seconda equazione:
2(4x + y) = ¨x − 3 ˙x + 2 sin(2t).
Riscrivendo tale espressione si ha ¨x − 3 ˙x − 8x − 2y + 2 sin(2t) = 0.
Sostituiamo l’espressione di 2y ottenuta dalla prima equazione:
Otteniamo quindi l’equazione nella sola variabile x:
Tale equazione si riscrive come:
.
¨x − 3 ˙x − 8x − ( ˙x − 3x − cos(2t)) + 2 sin(2t) = 0.
¨x − 3 ˙x − 8x − ˙x + 3x + cos(2t) + 2 sin(2t) = 0.
¨x − 4 ˙x − 5x = −2 sin(2t) − cos(2t).
L’equazione caratteristica dell’omogenea associata è quindi:
λ 2 − 4λ − 5 = 0,
e le sue soluzioni sono gli autovalori della matrice A, ovvero le soluzioni di det(A − λId) = 0. Nel nostro caso si
ha che gli autovalori sono λ1 = 5, λ2 = −1. Essi sono reali, distinti e di segno discorde. L’omogenea associata
ha quindi soluzione Φ(t, c1, c2) = c1e 5t + c2e −t . Determiniamo una soluzione particolare del sistema mediante
il metodo dei coefficienti indeterminati, studiamo ciascun addendo del termine noto separatamente.
Poiché ±2i non è soluzione dell’equazione caratteristica, possiamo cercare una soluzione di ¨x − 4 ˙x − 5x =
−2 sin(2t) della forma ū1(t) = A cos(2t) + B sin(2t). Derivando si ottiene ū ′ 1(t) = −2A sin(2t) + 2B cos(2t) e
ū ′′
1(t) = −4A cos(2t) − 4B sin(2t). Sostituendo nell’equazione data:
−4A cos(2t) − 4B sin(2t) − 4(−2A sin(2t) + 2B cos(2t)) − 5(A cos(2t) + B sin(2t)) = −2 sin(2t)
da cui −9A − 8B = 0 e 8A − 9B = −2 quindi A = −16/145 e B = 18/145, quindi la prima soluzione particolare
è:
ū1(t) = − 16
18
cos(2t) +
145 145 sin(2t).