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150 28. METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI - CONTINUAZIONE
Quindi la soluzione è data da:
Discussione della convergenza:
u(t, x) = e −x
∞ 2(−1) n+1
e
n
−(4+n2 )t
sin(nx).
n=1
(1) se t > ¯t > 0 si ha che il termine generale della serie è maggiorato in modulo da 2e −n2¯t /n, quindi si ha
convergenza totale, uniforme e puntuale nei compatti di ]0, +∞[×[0, π].
(2) se t = 0, la serie si riduce alla serie di Fourier della funzione x definita su [0, π] prolungata per disparità
a [−π, π] e poi per 2π periodicità a tutto R. Tale funzione è C 1 a tratti e non è continua in kπ, k ∈ Z.
La serie di Fourier converge puntualmente ma non uniformemente.
La serie converge puntualmente ma non uniformemente.