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134 26. STUDI QUALITATIVI
˙z = 1 − ε2z2 e procediamo con il confronto. Si ha:
dz
= t + C
(1 − εz)(1 + εz)
da cui
e quindi, per K ∈ R costante opportuna
da cui:
1
2ε log
1 + εz
1 − εz = t + C
1 + εz
= Ke2εt
1 − εz
z(t) = 1 Ke
ε
2εt − 1
Ke2εt + 1
Se K < 0 si ha che z(t) → −∞ per t → tk,ε := log(|1/K|)/(2ε), tale valore è positivo se K < −1,
e poiché y(x) < z(x), si ha che y(x) ha un asintoto verticale per t → t −
k,ε . In particolare ciò accade
se z(ε) < −1/ε, pertanto tutte le soluzioni che entrano nella regione invariante di decrescenza del IV
quadrante hanno un asintoto verticale.
(7) Soluzioni monotone su [0, +∞[: Affinché una soluzione sia monotona per x > 0 deve essere monotona
crescente e quindi non deve mai entrare nelle regioni invarianti di decrescenza. Per l’invarianza del I
quadrante si ha che essa deve essere compresa nella regione di piano del IV quadrante al di sopra del
ramo di iperbole xy = −1. Sia y(α, x) la soluzione dell’equazione valutata al tempo x soddisfacente
y(α, 0) = α Osserviamo che se α1 < α2 si ha y(α1, x) < y(α2, x) per ogni x dove le due soluzioni sono
definite. Poniamo:
A = {α ∈ R : esiste xα > 0 : y(α, xα) = 1/xα},
esso è l’insieme delle condizioni iniziali corrispondenti a traiettorie che entrano nella regione invariante
del primo quadrante. Poiché [0, +∞[⊂ A e α /∈ A per ogni α < −1, si ha che tale insieme è non vuoto
ed inferiormente limitato, pertanto esiste α + ∈ R, α + = inf A.
Analogamente si ponga:
B = {α ∈ R : esiste xα > 0 : y(α, xα) = −1/xα},
esso è l’insieme delle condizioni iniziali corrispondenti a traiettorie che entrano nella regione invariante
del quarto quadrante. Poiché ] − ∞, −1] ⊂ A e α /∈ A per ogni α > 0, si ha che tale insieme è non
vuoto e superiormente limitato, pertanto esiste α − ∈ R, α − = sup B.
Proviamo che α + /∈ A: se per assurdo α + ∈ A si ha che la traiettoria y(α + , x) interseca il ramo di
iperbole del primo quadrante in un punto (x α +, 1/x α +). Sia ¯x > x α + e consideriamo la soluzione ¯y
che all’istante ¯x valga 1/¯x. Tale traiettoria (poiché y ′ < 1) è definita in tutto l’intervallo [0, ¯x] (in cui
è maggiore o uguale della retta di coefficiente angolare 1 passante per (¯x, 1/¯x). Inoltre si ha y(α + , ¯x)
all’interno della regione invariante, quindi y(α + , ¯x) > ¯y(¯x), e perciò ¯y(0) = ¯α < y(α + , 0) = α + , quindi
¯α ∈ A contro la definizione di α + . In modo del tutto analogo si prova che α − /∈ B.
Quindi se α ∈ [α − , α + ] la traiettoria per x ≥ 0 non entra in nessuna delle due regioni invarianti di
decrescenza, pertanto essa è strettamente monotona crescente, contenuta nel quarto quadrante e il
suo limite è nullo. Discutiamo l’unicità: siano α1 < α2 con α1, α2 ∈ [α − , α + ] e siano y1(x), y2(x) le
corrispondenti traiettorie: si ha allora y1(x) < y2(x) < 0 per ogni x
d
dx (y2(x) − y1(x)) = x 2 (y 2 1(x) − y 2 2(x)) > 0
quindi la differenza y2(x) − y1(x) è una funzione strettamente crescente che vale α2 − α1 > 0 in 0.
Tuttavia entrambe le traiettorie convergono allo stesso limite per x → +∞. Ciò è assurdo, quindi
α + = α − = α ∗ .
(8) Conclusione: Lo studio della semiretta x ≤ 0 è riconducibile per simmetria a quello per x ≥ 0. Le
soluzioni definite su tutto R sono quelle corrispondenti alle condizioni iniziali |α| ≤ −α ∗ (che sono
prolungabili su tutto R da ambo le parti).