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160 30. ESERCIZI RICAPITOLATIVI - CONTINUAZIONE
Tale equazione si riscrive come:
¨x − (−2 − 1) ˙x + (2 − 15)x − 3e −2t + 6e −2t = 0
In notazione compatta, si ha ¨x−T ˙x+D x = −3e −2t . L’omogenea associata ha soluzione generale c1e λ1t +c2e λ2t
Cerchiamo una soluzione particolare di tale equazione con il metodo dei coefficienti indeterminati. Poiché −2
non è soluzione dell’equazione caratteristica, cerchiamo una soluzione nella forma qe −2t con q ∈ R. Sostituendo
e semplificando e −2t , si ottiene 4q − 6q − 13q = −3 da cui q = 1/5, quindi si ottiene
x(t) = c1e λ1t + c2e λ2t + 1
5 e−2t
Derivando, si ha:
˙x(t) = c1λ1e λ1t + c2λ2e λ2t − 2
5 e−2t .
Si ha perciò:
y(t) = − 1
c1λ1e
3
λ1t
+ c2λ2e λ2t 2
−
= 1
6
La soluzione del sistema è quindi:
⎧
1
⎨
−
x(t) = c1e
con c1, c2 ∈ R.
⎩y(t)
= 1
e− 1
2(3+ √ 61)t
−
1 + √ 61
2(3− √ 1
61)t −
+ c2e
1
6e− 2(3+ √ 61)t
5 e−2t
+ 2 c1e λ1t
+ c2e λ2t 1
+
5 e−2t
c1e √ √
61t
+ 61 − 1 c2 + 6e 1
2( √ 61−1)t
.
− 3e −2t
2(3+ √ 61)t e + −2t
5
− 1 + √ 61 c1e √ √
61t + 61 − 1 c2 + 6e 1
2( √ 61−1)t