pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

20. PRIMA PROVA IN ITINERE 95
2. Vi è una simmetria rispetto all’asse x. Inoltre osserviamo
che (3, 0) è max. ass. per la distanza dall’origine.
Non vi sono punti di Γ a dx della retta x = 3. Attorno a
tale punto non si ha un’esplicitazione y = y(x), però si ha
un’esplicitazione x = x(y). Analogamente (1, 0) è massimo
relativo per la distanza dall’origine, pertanto vicino a tale
punto non vi sono punti a dx della retta x = 1, non si
ha un’esplicitazione y = y(x), però si ha un’esplicitazione
x = x(y).
4. Studiamo ora il ramo corrispondente a ρ1. Poiché
±π/2 ∈ dom(ρ1), si ha che tale ramo congiunge il punto
(3, 0) (massima distanza dall’origine) con i punti (0, ±1) che
sono le uniche due intersezioni di Γ con l’asse delle ascisse.
Tale ramo deve inoltre essere tangente alle due rette
passanti per (0, ±1) Inoltre non può intersercare il ramo di
ρ2.
3. Ricordiamo che il ramo corrispondente in coordinate polari
a ρ2(θ) raggiunge la sua massima distanza dall’origine
proprio in (1, 0) e poi agli estremi del dominio, ovvero per
θ = ±π/3 tale ramo ritorna in 0. Inoltre si ha sempre che
ρ2 ≤ ρ1. In figura sono riportate anche le due rette corripondenti
ad un angolo di ±π/3 con l’asse delle ascisse.
Sfruttando la simmetria rispetto all’asse delle ascisse ci si
porta nella situazione indicata.
5. Partendo dai punti (0, ±1), sappiamo che il ramo ρ1 deve
ritornare nell’origine perché agli estremi del dominio di ρ1
si ha ρ1 = 0. Quindi si ha un cappio nell’origine, come ci si
poteva attendere da ∇f(0, 0) = (0, 0).