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146 28. METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI - CONTINUAZIONE
dove si è posto an = U(0)c1, quindi an ∈ R \ {0}. Cerchiamo di raggiungere il dato iniziale con una serie di
queste soluzioni:
∞
∞
u(0, x) = 2x = un(0, x) = a0 + cos (nx) ,
j=0
quindi i coefficienti an sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier di soli coseni della funzione f(x) = 2x,
mentre a0 è il doppio del coefficiente di ordine 0 dello sviluppo in serie di Fourier di f. Prolunghiamo quindi f
per parità a tutto [−π, π] e poi per 2π-periodicità a tutto R. Si ha:
a0 = 1
π
an = 2
π
π
0
π
0
n=1
2x dx = π
2x cos nx dx = 4
π sin nx
x −
π n 0
4
nπ
π
0
sin(nx) dx
= 4
n2π [cos(nx)]π0 = 4 (−1)n − 1
n2π Quindi a0 = π, a2k = 0 e a2k−1 = −8/(π(2k − 1) 2 ) per k ∈ N, k ≥ 1. La soluzione risulta quindi:
u(t, x) = π − 8
π2 ∞ e−5(2k−1)2
t cos (2k − 1)x
(2k − 1) 2 .
La serie converge totalmente quindi uniformemente, infatti si ha:
∞
e
sup
−5(2k−1)2
t cos (2k − 1)x
(2k − 1) 2
≤
∞ 1
< +∞,
(2k − 1) 2
k=1
k=1
(ad esempio per confronto con la serie di termine generale 1/k 2 ).
Esercizio 28.2. Si determini col metodo di separazione delle variabili la soluzione (sotto forma di serie)
dell’equazione alle derivate parziali:
⎧
−ut + 2uxx + 3ux + u = 0, per t > 0, x ∈]0, π[,
⎪⎨
u(0, t) = u(π, t) = 0,
⎪⎩
3 −
u(x, 0) = e 4 x π
2 −
x − π
,
2
Si discuta la convergenza uniforme della serie ottenuta.
Svolgimento. Cerchiamo soluzioni non nulle nella forma u(x, t) = U(t)X(x), sostituendo si ottiene
k=1
− ˙ U(t)X(x) + 2U(t) ¨ X(x) + 3U(t) ˙ X(x) + U(t)X(x) = 0
e dividendo per U(t)X(x) si ha:
− ˙ U(t) + U(t)
= −
U(t)
2 ¨ X(x) + 3 ˙ X(x)
X(x)
Si ottengono quindi le due equazioni (λ ∈ R):
− ˙ U(t) + (1 − λ)U(t) = 0,
2 ¨ X(x) + 3 ˙ X(x) + λX(x) = 0.
al variare di λ ∈ R. Studiamo l’equazione per X(x), la sua equazione caratteristica al variare di λ ∈ R è
2µ 2 +3µ+λ = 0, il cui discriminante è ∆ = 9−8λ. Dalle condizioni al contorno, si ricava u(0, t) = U(t)X(0) = 0
per ogni t e u(π, t) = U(t)X(π) = 0 per ogni t, il che implica X(0) = X(π) = 0.
Se ∆ > 0, l’equazione caratteristica ammette le radici reali distinte λ1 e λ2, e l’equazione per X(x) ammette
come soluzione generale X(x) = c1e λ1x + c2e λ2x . Sostituendo, si ottiene 0 = c1 + c2 dalla prima e quindi
X(x) = c1(e λ1x − e λ2x ). Sostituendo X(π) = 0, si ha 0 = c1(e λ1π − e λ2π ), ed essendo λ1 = λ2, si ottiene
c1 = c2 = 0, soluzione non accettabile.
Se ∆ = 0, l’equazione caratteristica ammette la radice reale doppia λ1, e l’equazione per X(x) ammette come
soluzione generale X(x) = c1e λ1x + c2xe λ1x . Sostituendo le condizioni al contorno si ha c1 = 0 e 0 = c2πe λ1π ,
il che implica c2 = 0 e anche questa soluzione non è accettabile. Supponiamo ∆ < 0, in tal caso l’equazione
caratteristica ammette le radici complesse coniugate λ1 = α+iω e λ2 = α−iω dove α = −3/4 e ω = |∆|/4 = 0.