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28. METODO DI SEPARAZIONE DELLE VARIABILI - CONTINUAZIONE 149
Esercizio 28.4. Si risolva con il metodo di separazione delle variabili la seguente equazione alle derivate
parziali:
⎧
⎪⎨ −∂tu(t, x) + ∂xxu(t, x) + 2∂xu(t, x) − 3u = 0,
u(t, 0) = u(0, π) = 0,
⎪⎩
u(0, x) = xe
(t, x) ∈]0, +∞[×[0, π],
−x .
Svolgimento. Cerchiamo soluzioni non nulle della forma u(t, x) = U(t)X(x). Sostituendo nell’equazione
di partenza si ottiene:
− ˙ U(t, x) + U(t) ¨ X(x) + 2U(t) ˙ X(x) − 3U(t)X(x) = 0
e dividendo per U(t)X(x) si ottiene che esiste λ ∈ R per cui:
− − ˙ U(t, x) − 3U(t)
U(t)
= ¨ X(x) + 2 ˙ X(x)
X(x)
Questo implica che per λ ∈ R si hanno le due equazioni:
¨X(x) + 2 ˙ X(x) − λX(x) = 0
− ˙ U(t) + (−3 + λ) U(t) = 0.
da accoppiarsi con le opportune condizioni al contorno.
Studiamo l’equazione per X, le condizioni al contorno sono X(0) = X(π) = 0. Il polinomio caratteristico è
µ 2 + 2µ − λ = 0, di discriminante ∆ = 4(1 + λ). Si verificano i seguenti casi al variare di λ ∈ R:
(1) se ∆ > 0, poniamo µ1 = −2−√∆ 2 , µ2 = −2+√∆ 2 e la soluzione generale dell’equazione è Φ(c1, c2, x) =
c1e µ1x + c2e µ2x . Confrontiamo con i dati all contorno. Si deve avere Φ(c1, c2, 0) = X(0) = 0, da cui
c1 = −c2, sostituendo e considerando Φ(c1, c2, π) = X(π) = 0 si ottiene c1(e µ1π µ2π − e ) = 0. Essendo
∆ > 0, si ha µ1 = µ2, quindi si ottiene solo la soluzione nulla c1 = c2 = 0, non accettabile.
(2) se ∆ = 0, quindi λ = −1, poniamo µ1 = µ2 = −1 e la soluzione generale dell’equazione è Φ(c1, c2, x) =
c1e−x + c2xe−x . Sostituendo i dati al contorno, si ottiene ancora la soluzione non accettabile c1 =
c2 = 0.
√
|∆|
(3) se ∆ < 0, poniamo α = −1 e ω = 2 e la soluzione generale dell’equazione è Φ(c1, c2, x) =
e−x (c1 cos ωx + c2 sin ωx).
Affinché i dati al bordo siano rispettati, si deve avere c1 = 0 per soddisfare Φ(c1, c2, 0) = X(0) = 0 e
per soddisfare Φ(c1, c2, π) = X(π) = 0 si deve avere ω = n ∈ Z.
Sostituendo le definizioni di ω e ∆, ricordando che per avere soluzioni accettabili deve essere ∆ < 0, si ottiene
−4n 2 = 4(1 + λ) da cui segue che i valori accettabili per λ sono dati da λn = −1 − n 2 . Si ottengono le soluzioni:
Xn(x) = cne −x sin(nx).
Studiamo ora l’equazione per U con i valori accettabili di λ, ovvero
− ˙ U(t) + −3 − 1 − n 2 U(t) = 0.
La soluzione è Un(t) = un(0)e −(4+n2 )t . Costuiamo le soluzioni elementari moltiplicando le soluzioni accettabili
per X e U corrispondenti allo stesso valore di λn e mettendo insieme le costanti moltiplicative bn = cnun(0).
un(t, x) = bne −(4+n2 )t e −x sin(nx).
=: λ
Per coprire il dato iniziale, sovrapponiamo infinite soluzioni elementari. Si deve avere:
u(0, x) = xe −x ∞
= bne −x sin(nx) = e −x
∞
bn sin(nx),
n=1
pertanto i coefficienti bn sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier delle funzione x, definita per
x ∈ [0, π], prolungata per disparità a [−π, π] e poi estesa per 2π-periodicità a tutto R. Quindi si ha:
bn = 2
π
x sin nx dx =
π 0
2
x=π x cos(nx)
− +
π n x=0
1
π
cos nx dx
n 0
= 2
cos nπ 1
−π + sin(nπ) =
π n n2 2(−1)n+1
n
n=1