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CAPITOLO 16
Lezione del giorno giovedì 19 novembre 2009 (2 ore)
Integrali multipli - continuazione
Raccogliamo di seguito alcune utili formule per il calcolo degli integrali doppi e alcune definizioni di integrali
importanti da un punto di vista applicativo:
Formule utili:
(1) Volume del solido di rotazione:
V = π
b
a
f 2 (x)
(2) Area di una superficie curva z = f(x, y) che si proietta ortogonalmente su D:
A = 1 + (∂xf) 2 + (∂yf) 2 dxdy
D
(3) Area di una superficie di rivoluzione S generata dalla rotazione di un giro completo attorno all’asse x
di una porzione di curva regolare γ situata nel semipiano z = 0, x ≥ 0:
(a) se γ è rappresentata dalle equazioni parametriche x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, si ha
AS = 2π
b
a
y(t) x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2 dt
(b) se γ ammette rappresentazione cartesiana y = y(x), a ≤ x ≤ b, si ha
AS = 2π
b
a
y(x) 1 + y ′ (x) 2 dx
(4) Baricentro di D ⊆ R2 :
x dx dy
y dx dy
xB = D
, yB = D
.
dx dy
dx dy
D
D
(5) Baricentro di D ⊆ R3 :
x dx dy dz
y dx dy dz
z dx dy dz
xB = D , yB = D , zB = D
dx dy dz
dx dy dz
dx dy dz
(6) Momento di inerzia D ⊆ R2 rispetto ad un punto fisso o ad una retta fissa:
I = δ 2 (x, y) dx dy
D
D
dove δ 2 (x, y) è la distanza del punto (x, y) dal punto fisso o dalla retta fissa.
(7) Teorema di Guldino sul volume dei solidi di rotazione. Sia T il solido generato dalla rotazione di
angolo θ attorno all’asse z di un dominio E contenuto nel semipiano x ≥ 0 del piano (x, y). Allora il
volume è:
λ3(T ) = θrGλ2(E)
dove rG è la distanza del baricentro di E rispetto all’asse di rotazione.
Esercizio 16.1. Chiamasi toro il solido T generato dalla rotazione di un cerchio di raggio r intorno ad un
asse z del suo piano avente distanza a dal centro, con a > r. Trovare il volume di questo solido.
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D
D