pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

88 19. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE
Svolgimento. Si ha divB(x, y, z) = − cos x + cos x = 0, pertanto il campo ha divergenza nulla.
calcolare un potenziale vettore, essendo R
Per
3 stellato rispetto all’origine, si applica la formula:
⎛
1
A(x, y, z) = sB(sx, sy, sz) × ⎝
0
x
⎞
⎛
1
y ⎠ ds = s · det ⎝
z
0
e1
e2
1 − sin(sx)
−1
⎞
x
y ⎠ ds
⎛
1
= s · ⎝
−z − szy cos(sx)
−(1 − sin(sx))z + szx cos(sx)
⎞
⎠ ds
e3 sz cos(sx) z
0
⎛ 1
(1 − sin(sx))y + x
⎜
= ⎜
⎝
[−sz − s
0
2 zy cos(sx)] ds
1
[−(1 − sin(sx))sz + s
0
2 ⎞
⎟ ⎛
⎟
zx cos(sx)] ds ⎟ =: ⎝
⎟
1
⎠
[(1 − sin(sx))sy + sx] ds
A1(x,
⎞
y, z)
A2(x, y, z) ⎠
A3(x, y, z)
Calcoliamo le tre componenti di A:
A1(x, y, z) =
1
Sfruttando i passaggi precedenti:
Il terzo integrale è:
0
0
= − z
− zy
2
[−sz − s 2 2 s
zy cos(sx)] ds = −
sin sx
x s2
s=1 = − z zy sin x
− +
2 x
2zy
x
= − z zy sin x
− +
2 x
2zy
x
s=0
1
0
−s
− 2
x
1
0
s sin sx ds
2 z
s=1
s=0
s sin sx ds
cos sx
s=1 x s=0
= − z zy sin x 2zy cos x
− −
2 x x2 + 2zy
x3 = − z zy sin x
− −
2 x
A2(x, y, z) =
A3(x, y, z) =
1
0
2 s
= −
2 z
2zy cos x
x 2
+ 2zy sin x
x
0
x3 .
+ 1
x
− zy
1
cos θ dθ
[−(1 − sin(sx))sz + s 2 zx cos(sx)] ds.
s=1
s=0
+ z
1
0
s sin(sx) ds + zx
0
1
0
1
= − z z cos x z sin x
− +
2 x x2 2z cos x
+ z sin x + −
x
= − z z cos x
+
2 x +
1 − 1
x2
z sin x.
1
0
[(1 − sin(sx))sy + sx] ds =
1
s=1
2
1
s
= (x + y) − y s sin(sx) ds
2 s=0 0
= x + y y cos x y sin x
+ −
2 x x2 Verifichiamo a titolo di prova il risultato ottenuto. Per definizione si ha:
rotA =
∂A3
∂y
− ∂A2
∂z ,
∂A1
∂z
0
− ∂A3
∂x ,
0
s 2 cos(sx) ds
cos sx ds
s 2 cos(sx) ds.
2z sin x
x 2
[s(x + y) − sy sin(sx)] ds
∂A2
∂x
∂A1
− ,
∂y