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182 A. STUDIO DI FUNZIONI IMPLICITAMENTE DEFINITE
il suo simmetrico rispetto all’asse delle ascisse, annulla f). Con ragionamenti analoghi, la stessa
conclusione vale se f(x, y) = −f(x, −y);
(c) se f(x, y) = f(−x, y), si avrà che Γ è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate (perché posto
x = −x ′ e y = y ′ si ha f(x, y) = f(−x ′ , y ′ ) = f(x ′ , y ′ ), quindi il punto (x, y) annulla f se e solo se
(x ′ , y ′ ), il suo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, annulla f). Con ragionamenti analoghi,
la stessa conclusione vale se f(x, y) = −f(−x, y);
(d) se f(x, y) = f(−x, −y), si avrà che Γ è simmetrico rispetto all’origine (perché posto x = −x ′
e y = −y ′ si ha f(x, y) = f(−x ′ , −y ′ ) = f(x ′ , y ′ ), quindi il punto (x, y) annulla f se e solo se
(x ′ , y ′ ), il suo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, annulla f). Con ragionamenti analoghi,
la stessa conclusione vale se f(x, y) = −f(−x, −y).
(5) Invarianze per rotazioni: se in coordinate polari l’insieme è rappresentato da g(ρ, θ) = 0, ρ ≥ 0,
eventuali strutture speciali della funzione g sono associate a notevoli proprietà di Γ. Supponiamo che
esista 0 < α < 2π tale per cui g(ρ, θ + α) = ±g(ρ, θ). Allora l’insieme Γ è invariante per rotazioni di
angolo nα, n ∈ Z.
(6) Parametrizzazione secondo rette passanti per l’origine3 . Poniamo y = mx e supponiamo che dalla
relazione f(x, mx) = 0 si riesca ad esplicitare x = k(m) in funzione di m. Si ottiene allora x = k(m) e
y = mk(m). Lo studio di tali funzioni permette di determinare moltissime informazioni sull’insieme.
Risulta di particolare interesse nel calcolo di eventuali asintoti: infatti se esiste m∗ ∈ R tale per cui
lim
m→m∗ k(m) = ±∞ allora si ottiene che la retta y = m∗x + q può essere un asintoto obliquo per le
funzioni implicitamente definite dall’insieme4 . Lo è se q = lim
m→m∗ mk(m) − m∗k(m) ∈ R.
(7) Supponiamo di avere un punto (x0, y0) ∈ R2 e di voler calcolare la tangente a Γ in tale punto. Si avrà
naturalmente f(x0, y0) = 0. Scriviamo
df(x0, y0) = ∂xf(x0, y0) dx + ∂yf(x0, y0) dy.
Se almeno una delle due derivate parziali è diversa da zero, allora la tangente a Γ in (x0, y0) è unica ed
è data da ∂xf(x0, y0)x + ∂y(x0, y0)y = q con q determinato in modo che tale retta passi per (x0, y0),
quindi q = ∂xf(x0, y0)x0 + ∂y(x0, y0)y0. In altre parole si ha che la tangente è espressa dall’equazione
purché ∇f(x0, y0) = (0, 0).
∇f(x0, y0) · (x − x0, y − y0) = 0
Importante: se ∇f(x0, y0) = (0, 0) il punto (x0, y0) è un punto critico per f. In un intorno
di tale punto non si può esplicitare nessuna delle due variabili rispetto all’altra tramite il
teorema di Dini. Se la tangente esiste, non è detto che sia unica. Tale punto potrebbe essere
il nodo di un cappio per Γ. Tuttavia il teorema di Dini dà solo condizioni sufficienti (ma non
necessarie) per l’esplicitabilità, pertanto un punto siffatto potrebbe anche essere regolare
con un’unica tangente: deve essere studiato separatamente.
Se la tangente in punto (x0, y0) è nota grazie al procedimento descritto, allora è noto anche se in
un intorno di tale punto sia possibile esplicitare una delle due variabili rispetto all’altra attorno a
tale punto: infatti se ∂yf(x0, y0) = 0, ovvero la tangente non è verticale del tipo x = x0, è possibile
applicare il teorema di Dini ed ottenere l’esistenza in un intorno di x0 di un’unica funzione ϕ con
ϕ ∈ C 1 e ϕ(x0) = y0. La derivata di ϕ in x0 non è altro che il coefficiente angolare della tangente in
tale punto, ossia
ϕ ′ (x0) = − ∂xf(x0, y0)
∂yf(x0, y0) .
Se ∂xf(x0, y0) = 0, ovvero la tangente non è orizzontale del tipo y = y0, è possibile applicare il teorema
di Dini ed ottenere l’esistenza in un intorno di y0 di un’unica funzione ψ con ψ ∈ C 1 e ψ(y0) = x0. La
derivata di ψ in y0 non è altro che il coefficiente angolare della tangente in tale punto, ossia
ϕ ′ (y0) = − ∂yf(x0, y0)
∂xf(x0, y0) .
Se ∂yf(x0, y0) = 0 e ∂xf(x0, y0) = 0, allora in un intorno di (x0, y0) non esiste una esplicitazione
y = ϕ(x).
3o per un punto (x0, y0) fissato una volta per tutte. In tal caso si sceglierà y − y0 = m(x − x0) oppure x − x0 = m(y − y0). Il
lettore può adattare facilmente la discussione a questo caso.
4Si ricordi che y = ϕ(x) = mk(m), x = k(m), le formule poi sono esattamente analoghe allo studio degli asintoti di funzioni
di una variabile.