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158 30. ESERCIZI RICAPITOLATIVI - CONTINUAZIONE
dove
− y2 + 1 sin θ √y cos θ
B1 =
y2 +1 , det
0 1
2 B1 = (y 2 + 1) sin 2 θ.
⎛
B2 = ⎝ −y2 ⎞
y cos θ
+ 1 sin θ √
y2 +1 ⎠ , det
y2 + 1 cos θ
2 B2 = y 2 ,
B3 =
0 1
y2 + 1 cos θ
√y sin θ
y2 +1
√y sin θ
y2 +1
, det 2 B3 = (y 2 + 1) cos 2 θ.
da cui ω2 = 2y2 + 1.
(4) Una base dello spazio tangente è data dalle colonne della matrice Jacobiana di ϕ. In particolare,
nel punto (1, 0, 0) = ϕ(0, 0) si ha (0, 1, 0) e (0, 0, 1). La normale deve essere ortogonale a questi due
vettori, e avere norma uno, per cui è della forma (±1, 0, 0). Verifichiamo quale di questi due è la
normale indotta dalla parametrizzazione:
⎛
det ⎝
±1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞
= ⎠ = ∓1.
Il determinante deve essere positivo, per cui la normale indotta nel punto (1, 0, 0) è (−1, 0, 0).
(5) Il flusso richiesto vale:
Φ(S, ⎛
2π F1 ◦ ϕ −
1 ⎜
F ) = det ⎜
⎝
0 −1
y2 y cos θ
+ 1 sin θ √
y2 +1
F2 ◦ ϕ 0 1
F3 ◦ ϕ y2 ⎞
⎟
⎠ dy dθ
y sin θ
+ 1 cos θ √
y2 +1
⎛
2π (y
1 ⎜
= det ⎜
⎝
0 −1
2 + 1) cos2 θ − y2 ⎞
y cos θ
+ 1 sin θ √
y2 +1 ⎟
y/2 0 1 ⎟
⎠ dy dθ
y2 + 1 cos θ y2 y sin θ
+ 1 cos θ √
y2 +1
⎛
2π 1
= (−y/2)det ⎝
0 −1
−y2 ⎞
y cos θ
+ 1 sin θ √
y2 +1 ⎠
y2 y sin θ dy dθ+
+ 1 cos θ √
y2 +1
2π 1
2 2 (y + 1) cos θ − y2 + (−1)det
+ 1 sin θ
dy dθ
0 −1
y2 + 1 cos θ y2 + 1 cos θ
2π 1
= y 2 1 2π
/2 dy dθ + (y 2 + 1) 3/2 cos 3 θ + (y 2
+ 1) sin θ cos θ dθ dy
0
= 2
3 π.
−1
−1
Nell’ultimo passaggio è sfruttato il fatto che:
2π
0
cos θ sin θ dθ = 1
2
2π
0
cos 3 θ dθ =
=
=
2π
0
3π/2
−π/2
π/2
−π/2
1
−1
0
sin(2θ) dθ = 1
4
cos 3 θ dθ =
4π
0
3π/2
−π/2
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ +
(1 − w 2 ) dw +
−1
1
sin w dw = 0.
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ
3/2π
π/2
(1 − w 2 ) dw = 0.
Esercizio 30.2. Risolvere l’equazione differenziale y ′ + 1 1
y =
sin x y .
(1 − sin 2 θ) cos θ dθ