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CAPITOLO 23
Lezione del giorno giovedì 7 gennaio 2010 (2 ore)
Equazioni totali e equazioni differenziali non autonome
Esercizio 23.1. Trovare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:
(1) y ′ = y(1 − y).
(2) y ′ = (x + y) 2 − (x + y) − 1.
(3) y ′ − y = e x√ y.
Svolgimento.
(1) l’equazione ammette le soluzioni costanti y(x) = 0 e y(x) = 1. Per y = 0, 1, l’equazione totale ad essa
associata è:
1
dy − dx = 0.
y(1 − y)
Tale equazione, definita per 0 < y < 1, è a variabili separate, pertanto ammette soluzione
1
x − dy = c, c ∈ R.
y(1 − y)
Calcoliamo
1
dy =
y(1 − y)
=
1
dy =
y(1 − y)
2dy
1 − (2y − 1) 2 =
1
dy =
y − y2 dy
1/4 − (y − 1/2) 2
dt
√ = arcsin(t) = arcsin(2y − 1).
1 − t2 Quindi la soluzione in forma implicita è x − c = arcsin(2y − 1) con il vincolo 0 < y < 1, e ciò implica
−π/2 < x − c < π/2 quindi y = (sin(x − c) + 1)/2 con il vincolo cos(x − c) ≥ 0.
(2) Riscrivendo l’equazione differenziale, si ha:
y ′ + 1 = d
dx (x + y) = (x + y)2 − (x + y).
Posto v = y + x, si ottiene allora v ′ = v 2 − v. Questa equazione ammette le soluzioni costanti v = 0 e
v = 1. Per v = 0, 1 si ha
da cui, essendo
1 A
=
v(v − 1) v
per A = −B = −1, si ottiene integrando
dv
= dx
v(v − 1)
B Av − A + Bv
+ =
v − 1 v(v − 1)
− log |v| + log |v − 1| = x + c
per cui la soluzione in forma implicita è data da v = 0, v = 1 e
log
v − 1
v = x + c,
da cui − 1
v = −1 ± ex+c , quindi
1
v = ,
1 ± ex+c cui corrispondono le soluzioni v = −x, v = 1 − x e
1
y(x) = − x.
1 ± ex+c 119