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APPENDICE B
Esercizi su flussi, circuitazioni, teorema di Stokes e affini
Tutto scorre,
non si può tornare
due volte nello stesso fiume.
Eraclito.
In questi esercizi gli ingredienti fondamentali sono: una superficie parametrizzata da ϕ : I × J → R 3 dove
I, J sono intervalli di R e uno o più campi vettoriali F , G : R 3 × R 3 . Le variabili di ϕ saranno indicate con u ∈ I
e v ∈ J, e le componenti di ϕ saranno indicate con ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) e quelle di F con F = (F1, F2, F3).
Osserviamo che la superficie Σ può essere definita anche implicitamente da un’equazione f(x, y, z) = 0 con
∇f = (0, 0, 0) in ogni punto di Σ. In tal caso, infatti, il Teorema della funzione implicita ci permette di costruire
parametrizzazioni di Σ nell’intorno di ogni punto di Σ. Tali parametrizzazioni sono locali ciò significa che
potrebbero essere necessarie più parametrizzazioni per descrivere interamente la superficie 1 .
Ricordiamo i seguenti fatti salienti:
(1) La divergenza di F è il campo scalare div F = ∂F1 ∂F2
+
∂x ∂y
(2) Il rotore di F è il campo vettoriale definito da
rot F = ∇ × ⎛
⎞
i j k
⎜
⎟
⎜
⎟
F = det ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
F1 F2 F3
+ ∂F3
∂z .
= i (∂yF3 − ∂zF2) + j (∂zF1 − ∂xF3) + k (∂xF2 − ∂yF1)
= (∂yF3 − ∂zF2, ∂zF1 − ∂xF3, ∂xF2 − ∂yF1) .
(3) La matrice Jacobiana della parametrizzazione, le cui colonne verranno indicate con ∂uϕ(u, v) e ∂vϕ(u, v)
rispettivamente, è la matrice:
⎛
⎞
Jacϕ(u, v) =
⎝ ∂uϕ1 ∂vϕ1
∂uϕ2 ∂vϕ2
∂uϕ3 ∂vϕ3
(4) per calcolare l’elemento d’area o di superficie 2-dimensionale, consideriamo le tre sottomatrici quadrate
2 × 2 di Jac ϕ:
∂uϕ2
B1 =
∂uϕ3
∂vϕ2
∂vϕ3
,
∂uϕ1
B2 =
∂uϕ3
∂vϕ1
∂vϕ3
,
∂uϕ1
B3 =
∂uϕ2
∂vϕ1
∂vϕ2
e per il teorema di Binet si ha che l’elemento d’area è:
dσ = det 2 B1 + det 2 B2 + det 2 B3 du dv
1 Ad esempio, nel caso di Σ superficie sferica unitaria di R 3 data da x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0, si ha f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 1
e ∇f(x, y, z) = 2(x, y, z). Si ha ∇f(x, y, z) = (0, 0, 0) solo se (x, y, z) = (0, 0, 0), ma (0, 0, 0) /∈ Σ perché f(0, 0, 0) = −1 = 0.
Quindi nell’intorno di ogni punto di Σ esiste una parametrizzazione locale. Si può mostrare come non esistano parametrizzazioni
globali e che il numero minimo di parametrizzazioni per descrivere interamente Σ sia 2. Tra le tante possibili scelte, segnaliamo
z = ± 1 − x 2 − y 2 , quindi le due parametrizzazioni ϕ1(u, v) = (u, v, √ 1 − u 2 − v 2 ), ϕ2(u, v) = (u, v, √ 1 − u 2 − v 2 ), entrambe
definite sull’insieme u 2 + v 2 ≤ 1.
185
⎠