pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

206 E. RICHIAMI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI
Proposizione E.16 (Metodo dei coefficienti indeterminati). Sia a(t) polinomio in t a coefficienti complessi,
α ∈ C. Si consideri l’equazione:
Allora:
y (n) + an−1y (n−1) + ... + a1y ′ + a0y = a(t)e αt .
(1) se α non è radice del polinomio caratteristico dell’equazione omogenea, si ha per la non omogenea la
soluzione c(t)e αt dove c è un polinomio dello stesso grado di a;
(2) se α è radice del polinomio caratteristico dell’equazione omogenea di molteplicità ν, si ha per la non
omogenea la soluzione t ν c(t)e αt dove c è un polinomio dello stesso grado di a.
Tali soluzioni sono uniche. I coefficienti del polinomio t ↦→ c(t) vengono determinati sulla base delle condizioni
iniziali e sostituendo nell’equazione data.
Corollario E.17. Supponiamo di avere l’equazione
y (n) + an−1y (n−1) + ... + a1y ′ + a0y = b(t).
(1) supponiamo che b(t) sia un polinomio a coefficienti reali. Se 0 non è radice del polinomio caratteristico,
cerchiamo come soluzione particolare xp(t) un polinomio dello stesso grado di b(t). Se invece 0 è radice
del polinomio caratteristico di molteplicità ν, cerchiamo come soluzione particolare xp(t) = t ν c(t) con
c(t) polinomio dello stesso grado di b(t).
(2) supponiamo che b(t) = a(t)e αt con α ∈ R, a(t) polinomio a coefficienti reali. Se α non è radice del
polinomio caratteristico, cerchiamo come soluzione particolare xp(t) = c(t)e αt dove c(t) è un polinomio
dello stesso grado di a(t). Se invece α è radice del polinomio caratteristico di molteplicità ν, cerchiamo
come soluzione particolare xp(t) = t ν c(t)e αt con c(t) polinomio dello stesso grado di a(t). Il caso
precedente corrisponde alla scelta α = 0.
(3) supponiamo che b(t) = a(t) cos βx oppure b(t) = a(t) sin βx con a(t) polinomio a coefficienti reali. Se iβ
non è radice del polinomio caratteristico, cerchiamo come soluzione particolare xp(t) = c(t)(A cos βt +
B sin βx) dove c(t) è un polinomio dello stesso grado di a(t). Se invece iβ è radice del polinomio
caratteristico di molteplicità ν, cerchiamo come soluzione particolare xp(t) = t ν c(t)(A cos βt+B sin βx)
con c(t) polinomio dello stesso grado di a(t). Importante: anche se il termine b(t) contiene solo un
coseno o solo un seno, la soluzione particolare va cercata contenente sia il seno sia il coseno.
(4) supponiamo che b(t) = a(t)e αx cos βx oppure b(t) = a(t)e αx sin βx con a(t) polinomio a coefficienti
reali. Se α + iβ non è radice del polinomio caratteristico, cerchiamo come soluzione particolare
xp(t) = c(t)e αx (A cos βt + B sin βx) dove c(t) è un polinomio dello stesso grado di a(t). Se invece
iβ è radice del polinomio caratteristico di molteplicità ν, cerchiamo come soluzione particolare
xp(t) = t ν c(t)e αx (A cos βt + B sin βx) con c(t) polinomio dello stesso grado di a(t). Importante:
anche se il termine b(t) contiene solo un coseno o solo un seno, la soluzione particolare va cercata
contenente sia il seno sia il coseno.
Per determinare i coefficienti del polinomio c(t), e quindi la soluzione particolare xp(t), si pongono tali coefficienti
pari a costanti e si sostituisce l’espressione generica di xp(t) nell’equazione. Uguagliando i termini simili,
si trovano alcune relazioni tra i coefficienti. I coefficienti che rimangono indeterminati possono essere posti
uguali a zero.
Osservazione E.18. Osserviamo che se h(t) = h1(t) + .... + hk(t) e xj(t) è soluzione di
y (n) + an−1y (n−1) + ... + a1y ′ + a0y = hj(t)
per ogni j = 1...k, allora x(t) = x1(t) + ... + xk(t) è soluzione di a¨x + b ˙x + cx(t) = h1(t) + ... + hk(t) = h(t).
In altre parole, se il termine noto h(t) è una somma finita di funzioni, per trovare una soluzione dell’equazione
di partenza è sufficiente trovare una soluzione di ciascuna equazione che si ottiene prendendo come termine
noto ciascuno degli addendi, e poi sommare tutte queste soluzioni. Il metodo dei coefficienti indeterminati si
può quindi applicare a termini noti b(t) che possano essere decomposti in somme finite delle funzioni viste in
precedenza.
Esempio E.19. Consideriamo l’equazione y ′′ + 2y ′ + y = sin(2t), y(0) = 1, y ′ (0) = 2. L’omogenea associata
è y ′′ + 2y ′ + 1 = 0 di polinomio caratteristico λ 2 + 2λ + 1 = 0 che ha come unica radice λ = −1 di molteplicità
ν = 2. Possiamo scrivere sin 2t = (e i2t − e −i2t )/(2i) e studiare separatamente y ′′ + 2y ′ + 1 = e i2t /(2i) e
y ′′ + 2y ′ + 1 = e i2t /(2i). Nel primo caso, si ha che il termine noto è della forma c(t)e αt con α = 2i e c(t) = 1/2i
polinomio di grado zero, ovvero costante. Poiché α = 2i non è radice del polinomio caratteristico, si ha per
l’equazione non omogenea y ′′ + 2y ′ + 1 = e i2t /(2i) una soluzione particolare del tipo c3e 2it con c3 ∈ C costante.