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E. RICHIAMI SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI 207
In modo analogo, si ha per l’equazione non omogenea y ′′ + 2y ′ + 1 = e −i2t /(2i) una soluzione particolare del
tipo c4e −2it con c4 ∈ C costante. L’equazione omogenea y ′′ + 2y ′ + y = 0 ammette le soluzioni c1e −t + c2te −t
con c1, c2 costanti. Quindi l’equazione y ′′ + 2y ′ + y = sin(2t) ammette le soluzioni nella forma:
y(t) = c1e −t + c2te −t + c3e 2it + c4e −2it = c1e −t + c2te −t + d1 cos(2t) + d2 sin(2t)
= (c1 + tc2)e −t + d1 cos(2t) + d2 sin(2t),
dove i coefficienti c1, c2, d1 e d2 non sono tutti liberi, ma vanno determinati sostituendo questa formula
nell’equazione e utilizzando le condizioni iniziali. Si ha:
y(0) = c1 + d1 = 1
˙y(t) = (−c1 + c2 − tc2)e t + 2d2 cos(2t) − 2d1 sin(2t)
˙y(0) = −c1 + c2 + 2d2 = 2
¨y(t) = (c1 − 2c2 + tc2)e t − 4d1 cos(2t) − 4d2 sin(2t)
¨y(t) + 2 ˙y + y = sin(2t) = (−3d1 + 4d2) cos(2t) − (4d1 + 3d2) sin(2t).
Si ha quindi dall’ultima equazione 4d1 + 3d2 = −1, 4d2 − 3d1 = 0 e dalle condizioni iniziali c1 + d1 = 1 e
−c1 + c2 + 2d2 = 2 da cui: d1 = −4/25, d2 = −3/25, c1 = 29/25, c2 = 85/25, quindi la soluzione è:
y(t) = 1 −t
(29 + 85t)e − 4 cos(2t) − 3 sin(2t) .
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