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222 H. ESERCIZI SU EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI E SEPARAZIONE DELLE VARIABILI
Pertanto i bn sono i coefficienti di Fourier della funzione f(x)e d
2c x estesa per disparità a [−π, π] e
poi per 2π-periodicità, quindi
e la soluzione risulta essere
∞
u(t, x) = 2 d
e− 2c
π x
n=1
π
bn = 2
π
0
π
0
f(x)e d
2c x sin nx dx,
f(s)e d
2c s
2 2 2 d + 4c n − 4ce
sin ns ds exp
t sin nx.
4bc
(b) Soluzione per a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 e condizioni (No)
L’equazione è
⎧
⎪⎨ b ∂tu + c ∂xxu + e u = 0 in ]0, π[×]0, +∞[,
ux(t, 0) = ux(t, π) = 0,
⎪⎩
u(0, x) = f(x).
Supponiamo che a = 0, b = 0, d = 0 e valgano (No). I valori di λ accettabili sono allora
λn = −cn 2 al variare di n ∈ N, n > 0. Costruiamo una soluzione elementare moltiplicando la
soluzione generale accettabile di X per quella di U Si ha allora, mettendo assieme tutte le costanti
moltiplicative,
2 cn − e
un(t, x) = an exp t cos nx.
b
Per coprire il dato iniziale u(0, x) = f(x), si deve quindi avere:
∞
∞
u(0, x) = f(x) = un(0, x) = a0 + an cos nx
n=1
Pertanto gli an sono i coefficienti di Fourier della funzione f(x) estesa per parità a [−π, π] e poi
per 2π-periodicità, quindi
a0 = 1
π
f(x) dx,
π 0
an = 2
π
f(x) cos nx dx,
π 0
e la soluzione risulta essere
u(t, x) = 1
π
e −
f(s) ds e b
π
t + 2
∞
e
π
cn2 π
−e
b t
f(s) cos ns ds cos nx.
0
n=1
n=1
0