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Poniamo quindi x
√z/a = s cos θ,
16. INTEGRALI MULTIPLI - CONTINUAZIONE 71
y
√ z/b = s sin θ, z = z, 0 ≤ s ≤ 1, 0 < z ≤ k 2 da cui x(s, θ, z) = √ zs cos θ/a,
y(s, θ, z) = √ zs sin θ/b, z(s, θ, z) = z. Lo Jacobiano della trasformazione è:
Jac(ψ)(s, θ, z) =
il cui determinante è zs/(ab). Allora:
da cui
I =
⎛
⎜
⎝
a √ z cos θ − √ zs sin θ/a s cos θ
2a √ b
z
√ z sin θ √ zs cos θ/b s sin θ
2b √ z
0 0 1
2π 1 2
k
0
0
0
zs
πk4
dz ds dθ =
ab 2ab .
Esercizio 16.8. Determinare il baricentro del cappio della strofoide , curva di equazione (a > 0):
Svolgimento. In coordinate polari, si ha:
x(x 2 + y 2 ) = a(x 2 − y 2 )
ρ 3 cos θ = aρ 2 (cos 2 θ − sin 2 θ)
cos 2θ
ρ = a
cos θ
Si ha quindi θ ∈ [−π/4, π/4] ∪ [π/2, 3/4π] ∪ [5/4π, 3/2π]. Osserviamo che x(θ) = ρ cos θ = a cos 2θ. La curva
è simmetrica rispetto all’asse delle ascisse, quindi l’ordinata del baricentro è nulla, ed ammette un asintoto
verticale, infatti lim ρ = +∞. Tale asintoto è x = −a. Si ha ρ(θ) = 0 per θ = ±π/4. Pertanto il cappio
θ→±π/2∓ è descritto da −π/4 < θ < π/4, cui corrisponde 0 < x < a e |y| ≤ x (a − x)/(a + x). Sia C il cappio della
strofoide. L’area di C è data da:
C
dx dy =
π/4 a cos(2θ)/ cos θ
= a2
2
= a2
2
= a2
2
= a2
2
s ds dθ =
0
a2
2
π/4
4 cos
−π/4
2 θ + 1
cos2
− 4 dθ
θ
−π/4
2
2
π/4
−π/4
π/4
−π/4
(4 − π)
π/4
−π/4
⎞
⎟
⎠ ,
cos 2 (2θ)
cos 2 θ dθ
(cos 2θ + 1) dθ + [tan θ] π/4
−π/4 − 2π
cos 2θ dθ + 2 − π