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30. ESERCIZI RICAPITOLATIVI - CONTINUAZIONE 159
Svolgimento. L’equazione data è di Bernoulli e il problema è posto in R 2 \ {y = 0}. Poniamo quindi
z = y 1−(−1) = y 2 . Derivando, si ottiene z ′ = 2yy ′ = 2 − 2z/ sin x. Scriviamo l’equazione in forma di equazione
totale:
Si ha
ω(x, z) = p(x, z) dx + q(x, z) dz =
2 − 2z
dx − dz = 0
sin x
∂zp(x, z) − ∂xq(x, z) = − 2 2
=
sin x sin x q(x).
Calcoliamo un primitiva di 2/ sin x utilizzando le formule1 che esprimono sin x in funzione di t = tan(x/2):
2
dx 1 + t 2 dt
2 = 2
= 2 log |tan(x/2)|
sin x 2t 1 + t2 Pertanto il fattore integrante è h(x, z) = tan2 (x/2). Moltiplicando per tale fattore, l’equazione diviene:
2 tan 2 z tan(x/2)
(x/2) −
cos2
dx − tan
(x/2)
2 (x/2)dz = 0
Una primitiva è data da:
V (x, z) = 4 tan(x/2) − 2x − z tan 2 (x/2),
e le soluzioni dell’equazione totale sono date da V (x, z) = c, c ∈ R. Pertanto le soluzioni dell’equazione in z
sono (si moltiplichi per sgn(tan(x/2))):
cui corrispondono le soluzioni in y:
c + 2x − 4 tan(x/2)
z(x) = −
tan2 (x/2)
c + 2x − 4 tan(x/2)
y(x) = ±
.
| tan(x/2)|
Esercizio 30.3. Determinare la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali:
˙x + 2x + 3y = 3e −2t ,
˙y + 5x + y = 0.
Discutere inoltre il tipo e la stabilità delle soluzioni stazionarie del sistema omogeneo associato.
Svolgimento. Posto z = (x, y), il sistema si riscrive nella forma ˙z = Az + B(t) con
−2
−2 −3
3e
A =
, B(t) = .
−5 −1
0
Si ha T = tr(A) = −3 e D = det(A) = −13. L’equazione degli autovalori è λ2 − T λ + D = 0 ovvero
λ2 + 3λ − 13 = 0, che ammette come soluzioni i due autovalori reali
λ1 = 1
−3 −
2
√
61 , λ2 = 1
−3 +
2
√
61 .
Poiché D = 0, l’unico punto di equilibrio per l’omogeneo associato è (0, 0), e poiché gli autovalori sono di segno
discorde tale punto è una sella.
−3y = ˙x + 2x − 3e
Riscrivendo il sistema dato, si ha:
−2t
.
˙y = −5x − y
Derivando la prima equazione, si ottiene −3 ˙y = ¨x + 2 ˙x + 6e−2t .
Sostituiamo l’espressione di ˙y ottenuta dalla seconda equazione:
−3(−5x − y) = ¨x + 2 ˙x + 6e −2t .
Riscrivendo tale espressione si ha ¨x + 2 ˙x − 15x − 3y + 6e −2t = 0.
Sostituiamo l’espressione di y ottenuta dalla prima equazione:
Otteniamo quindi l’equazione nella sola variabile x:
¨x + 2 ˙x − 15x + ( ˙x + 2x − 3e −2t ) + 6e −2t = 0.
¨x + 2 ˙x − 15x + ˙x + 2x − 3e −2t + 6e −2t = 0.
1 Tali formule porgono t = tan(x/2), cos x = 1−t 2
1+t 2 , sin x = 2t
1+t 2 , dx = 2dt
1+t 2