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APPENDICE A
Studio di funzioni implicitamente definite
implìcito = lat. implìcitus = implicàtus, che è il participio
passato di implicàre avviluppare, avvolgere (v. Piegare). Prop.
Intricato; e fig. Che è compreso e quasi avviluppato in altro,
d’onde si deduce per via d’illazioni, d’induzioni; Compreso
tacitamente nel discorso, Sottinteso. Contrario di Esplicito.
Vocabolario etimologico della lingua italiana,
di Ottorino Pianigiani, 1907.
Questa tipologia di esercizi consiste nello studio di insiemi Γ definiti implicitamente mediante equazioni del tipo
f(x, y) = 0, con f : R 2 → R. In tutta la discussione supporremo che f ∈ C 1 (R 2 ). Alcune questioni specifiche:
(1) Appartenenenza di un punto (x0, y0) all’insieme: il punto (x0, y0) ∈ R 2 appartiene a Γ se e solo se
f(x0, y0) = 0;
(2) Rappresentazione in coordinate polari: ponendo x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, si scriva g(ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ).
Allora l’insieme in coordinate polari è rappresentato da
{(ρ cos θ, ρ sin θ) : g(ρ, θ) = 0, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π]}
Importante: non dimenticare che da sola l’equazione g(ρ, θ) = 0 non rappresenta l’insieme,
infatti deve essere aggiunta anche la condizione ρ ≥ 0: i valori di θ tali per cui g(ρ, θ) = 0
implica ρ < 0 non sono accettabili.
(3) Informazioni derivanti dalla rappresentazione in coordinate polari: può capitare che la relazione
g(ρ, θ) = 0 possa essere scritta 1 nella forma più semplice ρ = h(θ), in tal caso è possibile determinare
l’insieme A ⊆ [0, 2π] dove si ha h(θ) ≥ 0, esso è l’insieme dei θ accettabili: esso dà ulteriori
informazioni sulla posizione dell’insieme. 2 Se θ ∗ ∈ A allora la retta di equazione cos(θ ∗ )y = sin(θ ∗ )x
interseca Γ in almeno un punto. Se inoltre α ∈ A è tale per cui h(α) = 0, allora la retta di equazione
cos(α)y = sin(α)x interseca Γ nell’origine (e magari anche in altri punti). Se inoltre la funzione h è
limitata, allora ρ è limitato, quindi l’insieme è limitato. Se f è continua, allora Γ è chiuso, per cui
se si ha f continua e ρ limitato, allora Γ è compatto. Nel caso in cui Γ sia compatto, nessuna delle
funzioni da esso implicitamente definite può ammettere asintoti di nessun tipo.
(4) simmetrie in coordinate cartesiane: se la funzione f presenta particolari simmetrie, esse si riflettono
su simmetrie di Γ. Lo studio delle simmetrie è cruciale per lo svolgimento di questi esercizi.
Alcuni esempi frequenti:
(a) Se f(x, y) = f(y, x) si avrà che Γ è simmetrico rispetto alla bisettrice y = x (perché posto x = y ′ e
y = x ′ si ha f(x, y) = f(y ′ , x ′ ) = f(x ′ , y ′ ), quindi il punto (x, y) annulla f se e solo se (x ′ , y ′ ), il suo
simmetrico rispetto alla bisettrice, annulla f). Con ragionamenti analoghi, la stessa conclusione
vale se f(x, y) = −f(y, x);
(b) se f(x, y) = f(x, −y), si avrà che Γ è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse (perché posto x = x ′
e y = −y ′ si ha f(x, y) = f(x ′ , −y ′ ) = f(x ′ , y ′ ), quindi il punto (x, y) annulla f se e solo se (x ′ , y ′ ),
1 Attenzione alle divisioni per zero: se si ottiene ad esempio g(ρ, θ) = ρ 3 − ρ 2 (cos 2 θ + 1) non si può concludere che l’insieme
g(ρ, θ) = 0 sia rappresentato da ρ = h(θ) con h(θ) = cos 2 θ + 1, ρ ≥ 0. Infatti tale equazione non comprende il punto (0, 0),
identificato da ρ = 0, che invece soddisfa g(0, θ) = 0. Quindi bisognerà tenere sempre conto del fatto che alla soluzione ρ = h(θ)
va aggiunta l’origine che andrà studiata a parte. Viceversa, se si ottiene g(ρ, θ) = ρ 3 − ρ 2 (cos 2 θ − 1), allora si può concludere che
l’insieme g(ρ, θ) = 0 sia rappresentato da ρ = h(θ) con h(θ) = cos 2 θ − 1, ρ ≥ 0, perché l’origine viene rappresentata da θ = 0, π.
2 Se ad esempio A = [0, π/2], l’insieme è contenuto nel primo quadrante, se invece A = [0, π/3], l’insieme è contenuto nel primo
quadrante in un cono con vertice nell’origine, apertura di π/3, delimitato dall’asse delle ascisse e dalla retta y = tan(π/3)x. Se
θ/2 /∈ A, se ci sono intersezioni di Γ con l’asse delle ordinate esse non possono essere positive, se π/2 /∈ A e 3π/2 /∈ A non ci sono
intersezioni di Γ con l’asse delle ordinate.
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