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19. INTEGRALI CURVILINEI, TEOREMA DI STOKES, FORMULE DI GAUSS-GREEN - CONTINUAZIONE 91
da cui si deduce:
S
rotF · ˆn dσ = − rotF · ˆn dσ,
D
Sulla superficie D si ha che la normale uscente da C è ˆn = (0, 0, −1) e rotF = (0, −2x, −1), quindi:
rotF · ˆn dσ = − rotF · ˆn dσ = (−1) dxdy
S
D
L’ultimo integrale è l’opposto dell’area di D, pertanto vale −π. Ricordando il risultato del punto
precedente, si ha:
ω 1
F (x) = −π = rotF · ˆn dσ,
+γ
e questo porge la verifica richiesta.
Esercizio 19.4. Calcolare il seguente integrale:
I1 :=
S1
S
F · ˆn dσ,
dove F := (xz, xy, yz) e S1 := ∂{(x, y, z) ∈ R 3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}.
Svolgimento. Posto C = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}, S1 = ∂C. Applichiamo il
teorema della divergenza:
F · ˆn dσ = divF dxdydz = (x + y + z) dxdydz.
S1
Il calcolo dell’integrale triplo non presenta particolari difficoltà:
1 1−z 1−z−y
(x + y + z) dxdydz =
(x + y + z)dx dy dz
C
Quindi I1 = 1/8.
=
=
C
0 0 0
1 1−z 1−z−y
0 0
1 1−z
= 1
2
= 1
2
= 1
2
= 1
6
0
0 0
1 1−z
0 0
1 1−z
0
1
0
1
0
0
C
D
2 x
+ yx + zx
2
x=1−z−y
x=0
dy dz
(1 − z − y) 2
+ (y + z)(1 − z − y) dy dz
2
w − w3
3
(1 − z − y)(1 + y + z) dy dz
(1 − (z + y) 2 ) dy dz w=y+z
= 1
w=1
w=z
(2 − 3z + z 3 ) dz = 1
6
1
2
1 1
0
2 z3
− z +
3 3
dz = 1
2 0
2 − 3
1
+
2 4
z
= 1
8 .
dz
(1 − w 2 ) dw dz
Esercizio 19.5. Sia dato il campo vettoriale F : R 3 → R 3 , F (x, y, z) = (y 2 , 0, x − y). Calcolare il flusso
del rotore di F attraverso la porzione di superficie cartesiana S di equazione z = 1 − x 2 − y 2 , con (x, y) ∈
D := {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≤ 0, x 2 + y 2 ≤ 1} (il versore normale alla superficie è quello indotto dalla
parametrizzazione cartesiana standard).
Si calcoli il precedente flusso usando il teorema di Stokes.
Svolgimento. La parametrizzazione cartesiana di S è
φ(x, y) = (φ1(x, y), φ2(x, y), φ3(x, y)) = (x, y, 1 − x 2 − y 2 ).
S ha equazione G(x, y) = x 2 + y 2 + z − 1 = 0. La direzione della normale è data da:
∇G(x, y) = (2x, 2y, 1).