pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

94 20. PRIMA PROVA IN ITINERE
(3) Osserviamo che ∂yf(P3) = ∂yf(P4) = 0, quindi in questi punti il Teorema di Dini non è applicabile
(la tangente a Γ è verticale). Invece si ha ∂yf(P1) = −∂yf(P2) = 0 e quindi per il Teorema di Dini
esistono ϕ1 e ϕ2 con le proprietà richieste. Si ha che ϕ ′ 1(0) e ϕ ′ 2(0) sono i coefficienti angolari delle
tangenti a Γ rispettivamente in P1 e P2, ovvero ϕ ′ 1(0) = −ϕ ′ 2(0) = 2.
(4) Si ha h(x, y) ≥ 0 e l’uguaglianza vale solo nell’origine. Quindi l’origine è l’unico minimo assoluto
per h. Inoltre essa appartiene a Γ, quindi è l’unico minimo assoluto vincolato e h(0, 0) = 0. Studiamo
i massimi e minimi vincolati di h su Γ1 e su Γ2 separatamente. In coordinate polari si ha che
h(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ, Γ1 è dato 2 da ρ1(θ) = 2 cos θ + 1, ρ1 ≥ 0 e Γ2 è dato da ρ2(θ) = 2 cos θ − 1,
ρ2 ≥ 0. Individuiamo il dominio in cui sono definite ρ1 e ρ2 alla luce della condizione ρ ≥ 0. Si ha che
ρ1 è definito per cos θ > −1/2, quindi θ ∈ dom(ρ1) := [0, 2π/3] ∪ [4π/3, 2π], mentre ρ2 è definita per
cos θ > 1/2, quindi dom(ρ2) := θ ∈ [0, π/3] ∪ [5/3π, 2π].
Se si sceglie di parametrizzare θ tra −π e π (è assolutamente la stessa cosa), si ottiene dom(ρ1) :=
[−2π/3, 2π/3] e dom(ρ2) := [−π/3, π/3]. Questa scelta che, ribadiamo, è perfettamente equivalente al
parametrizzare θ tra 0 e 2π, presenta il vantaggio permettere una scrittura più semplice.
Si tratta di studiare i massimi e minimi delle funzioni ρ1 e ρ2 sotto i vincoli ρ1, ρ2 ≥ 0, ovvero rispettivamente
in dom(ρ1) e in dom(ρ2). Cominciamo con lo studiare tale funzioni nell’interno dei domini in
cui sono definite. Si ha ρ ′ 1(θ) = ρ ′ 2(θ) = −2 sin θ. Si ha ρ ′ 1(θ) = ρ ′ 2(θ) ≤ 0 per 0 < θ < π e l’uguaglianza
vale per θ ∈ {0, π}.
Osserviamo che π /∈ dom(ρ1) e π /∈ dom(ρ2), quindi π non è un valore accettabile: infatti si ha
ρ1(π) = −1 e ρ2(π) = −3 non accettabile alla luce della condizione ρ1 ≥ 0 e ρ2 ≥ 0.
Per quanto riguarda 0, calcoliamo ρ ′′
1(θ) = ρ ′′
2(θ) = −2 cos θ e ρ ′′
1(0) = ρ ′′
2(0) = −2 < 0, quindi si ha
che ρ1(0) = 3 accettabile e massimo relativo, ρ2(0) = 1 accettabile massimo relativo.
Rimangono da studiare i punti sulla frontiera dei domini: si ha ρ1(±2π/3) = ρ1(4π/3) = ρ2(±π/3) =
ρ2(5π/3) = 0. Tutti questi punti corrispondono quindi in coordinate cartesiane all’origine (ρ = 0 caratterizza
l’origine) pertanto si ottiene nuovamente che l’origine è minimo assoluto. Il massimo assoluto è
raggiunto nel punto corrispondente a ρM = ρ1(0) e θM = 0, quindi è (ρM cos θM , ρM sin θM ) = (3, 0) e
vale h(3, 0) = 3, l’altro massimo relativo è raggiunto nel punto corrispondente a ρm = ρ1(0) e θm = 0,
quindi è (ρm cos θm, ρm sin θm) = (1, 0) e vale h(1, 0) = 1.
L’insieme Γ è chiuso perché f è continua e si è appena visto che è limitato perché contenuto nella palla
chiusa centrata nell’origine e di raggio 3, quindi è compatto.
(5) Vogliamo ora dare un’idea dell’andamento qualitativo.
1. Ecco la situazione iniziale con i punti e le tangenti finora
trovate.
2 Qui risulta fondamentale l’aver correttamente individuato i due rami e il richiedere comunque ρ ≥ 0.