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CAPITOLO 17
Preparazione alla prima prova in itinere
Esercizio 17.1. Si consideri l’insieme
Γ := {(x, y) ∈ R 2 : (x 2 + y 2 )(y 2 + x(x + 1)) = 4xy 2 }
(1) Si provi che cos(3θ) = cos θ(1 − 4 sin 2 θ).
(2) Si esprima Γ in coordinate polari piane e, utilizzando il precedente, si dimostri che Γ è invariante per
rotazioni di 2π
3 .
(3) Si scrivano le equazioni delle rette tangenti a Γ nei punti P1 = (−1, 0), P2 = (1/2, √ 3/2) e P3 =
(1/2, − √ 3/2). Si provi che tali tangenti delimitano un triangolo equilatero.
(4) Si dica:
(a) se Γ definisce implicitamente in un intorno di P0, una funzione y = ϕ1(x) con ϕ1(−1) = 0 e in
caso affermativo, si calcoli ϕ ′ 1(0).
(b) se Γ definisce implicitamente in un intorno di P1, una funzione y = ϕ2(x) con ϕ2(1/2) = √ 3/2 e
in caso affermativo, si calcoli ϕ ′ 2(1/2).
(c) se Γ definisce implicitamente in un intorno di P2, una funzione y = ϕ3(x) con ϕ3(1/2) = − √ 3/2
e in caso affermativo, si calcoli ϕ ′ 3(1/2).
(5) Si determinino massimi e minimi della funzione h(x, y) = x 2 +y 2 vincolati a Γ. Si dica se Γ è compatto.
(6) Facoltativo: Si tracci un grafico qualitativo di Γ.
Svolgimento. Può essere utile osservare che l’insieme presenta una simmetria rispetto all’asse delle x:
infatti la sostituzione y ↦→ −y lascia invariato l’insieme. Poniamo
(1) Si ha:
f(x, y) = (x 2 + y 2 )(y 2 + x(x + 1)) − 4xy 2 .
cos 3θ = cos(θ + 2θ) = cos θ cos 2θ − 2 sin 2 θ cos θ
= cos θ(1 − 2 sin 2 θ) − 2 sin 2 θ cos θ = cos θ(1 − 4 sin 2 θ)
(2) Esprimiamo Γ in coordinate polari x = ρ cos θ, y = ρ sin θ: si ha
f(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ 2 (ρ 2 + ρ cos θ) − 4ρ 3 cos θ sin 2 θ = ρ 3 (ρ + cos θ(1 − 4 sin 2 θ))
da cui si ottiene che ρ = 0 oppure ρ + cos θ(1 − 4 sin 2 θ) = 0. La seconda condizione implica la prima
per θ = π/2, pertanto sfruttando il punto precedente si ha:
Γ = {(ρ cos θ, ρ sin θ) : ρ = − cos 3θ, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2π]}.
Poiché cos 3θ = cos(3(θ + 2π/3)) si ottiene l’invarianza richiesta.
(3) Differenziando la funzione f, si ottiene:
df(x, y) = (2x(y 2 + x(x + 1)) + (x 2 + y 2 )(2x + 1) − 4y 2 ) dx+
+ (2y(y 2 + x(x + 1) + x 2 + y 2 ) − 8xy) dy
= (4x 3 + 3x 2 + 4xy 2 − 3y 2 ) dx + 2y(2y 2 + 2x 2 − 3x) dy
Calcolando in P1, P2, P3 si ottiene:
√
1 3
df(−1, 0) = − dx, df , ±
2 2
= 1
√
3
dx ±
2 2 dy.
Questo implica che:
(a) la retta tangente in P1 è r1 : x = q1, dove q1 va determinata imponendo il passaggio per P1,
ovvero x = −1,
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