pdf (it, 1477.913 KB, 1/26/10)

186 B. ESERCIZI SU FLUSSI, CIRCUITAZIONI, TEOREMA DI STOKES E AFFINI
Si può anche calcolare l’elemento d’area prendendo il modulo del prodotto vettoriale delle colonne di
Jac ϕ:
dσ = |∂uϕ(u, v) ∧ ∂vϕ(u, v)| du dv
(5) La normale unitaria indotta dalla parametrizzazione nel punto (x0, y0, z0) si calcola nel modo seguente:
innanzitutto si determina il punto (u0, v0) ∈ I ×J tale per cui ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0). A questo punto,
la normale unitaria è data da:
ˆn(x0, y0, z0) = ∂uϕ(u0, v0) ∧ ∂vϕ(u0, v0)
|∂uϕ(u0, v0) ∧ ∂vϕ(u0, v0)|
ovvero si calcola la matrice Jacobiana della parametrizzazione in (u0, v0), si esegue il prodotto vettoriale
delle sue colonne ottenendo un vettore v. La normale richiesta è allora v/|v|.
(6) Normali assegnate e indotte. Sia Σ parametrizzata da ϕ e supponiamo venga assegnato ˆn(x, y, z)
campo vettoriale. Il campo vettoriale è normale alla superficie se e solo se per ogni (u, v) ∈ I × J si ha
che i prodotti scalari ˆn◦ϕ(u, v)·∂uϕ(u, v) e ˆn◦ϕ(u, v)·∂vϕ(u, v) sono entrambi nulli. Per verificare se il
campo delle normali assegnate è concorde con le normali indotte dalla parametrizzazione è necessario
calcolare:
⎛
⎞
n1 ◦ ϕ(u, v) ∂uϕ1(u, v) ∂vϕ1(u, v)
det ⎝ n2 ◦ ϕ(u, v) ∂uϕ2(u, v) ∂vϕ2(u, v) ⎠ .
n3 ◦ ϕ(u, v) ∂uϕ3(u, v) ∂vϕ3(u, v)
Se tale determinante è positivo, la normale assegnata coincide con quella indotta, altrimenti la normale
assegnata è opposta a quella indotta. In realtà non è necessario calcolare il determinante precedente
per ogni (u, v): essendo le superfici e i campi regolari, è sufficiente calcolarlo in un punto di Σ, quindi
per un valore di (ū, ¯v). Spesso il problema può assegnare il valore della normale in un punto P (¯x, ¯y, ¯z)
di Σ. In tal caso si determinano (ū, ¯v) in modo che ϕ(ū, ¯v) = P (¯x, ¯y, ¯x) e si calcola il precedente
determinante per quel valore (ū, ¯v).
(7) Se la superficie Σ è implicitamente definita da un’equazione f(x, y, z) = 0, il campo ∇f(x, y, z) è
normale a Σ nei punti di Σ. Tuttavia non è detto che se viene data anche una parametrizzazione di Σ,
il campo ∇f sia concorde con tale parametrizzazione: per verificarlo è necessario utilizzare il criterio
del punto precedente. Solitamente, se Σ è data sia con una parametrizzazione ϕ che in modo implicito
mediante f = 0, per calcolare la normale è molto più facile considerare ∇f e verificare in un punto
che esso è concorde con la normale indotta dalla parametrizzazione, piuttosto che eseguire il prodotto
vettoriale ∂uϕ ∧ ∂vϕ.
(8) Il flusso di F attraverso la superficie con l’orientamento indotto dalla parametrizzazione è dato da:
⎛
F · ˆn dσ = det ⎝ F1
⎞
◦ ϕ ∂uϕ1 ∂vϕ1
F2 ◦ ϕ ∂uϕ2 ∂vϕ2 ⎠ du dv
S
I
J
F3 ◦ ϕ ∂uϕ3 ∂vϕ3
(9) Se γ è una curva , la circuitazione di G lungo la curva assegnata γ : [0, T ] → R3 di classe C1 a tratti è
T
G · ds = G(γ(t)) · ˙γ(t) dt.
γ
0
(10) Se Σ è una superficie parametrizzata da una mappa ψ : [a, b] × [c, d] → R3 , il suo bordo orientato
positivamente è contenuto nella giustapposizione delle curve γ1(t) = ψ(t, c) con t ∈ [a, b], γ2(t) = ψ(b, t)
con t ∈ [c, d], γ3(t) = ψ(b + a − t, d) con t ∈ [a, b] e γ4(t) = ψ(a, d + c − t) con t ∈ [a, b], in altre parole
nell’immagine mediante ψ della frontiera del rettangolo [a, b] × [c, d] percorso in senso antiorario. Più
precisamente:
(a) se ψ(a, t) = ψ(b, t) per ogni t ∈]c, d[ e ψ(t, c) = ψ(t, d) per ogni t ∈]a, b[ allora il bordo coincide
con tale immagine;
(b) se ψ(a, t) = ψ(b, t) per ogni t ∈]c, d[ e ψ(t, c) = ψ(t, d) per ogni t ∈]a, b[ allora il bordo coincide
con l’unione delle curve γ1 e γ3;
(c) se ψ(a, t) = ψ(b, t) per ogni t ∈]c, d[ e ψ(t, c) = ψ(t, d) per ogni t ∈]a, b[ allora il bordo coincide
con l’unione delle curve γ2 e γ4;
(d) se ψ(a, t) = ψ(b, t) per ogni t ∈]c, d[ e ψ(t, c) = ψ(t, d) per ogni t ∈]a, b[ allora il bordo è vuoto.
(11) Il teorema di Stokes afferma che il flusso del rotore di F attraverso Σ con l’orientamento indotto dalla
parametrizzazione è dato dalla circuitazione di F lungo il bordo di Σ orientato positivamente:
rot
F · ˆn dσ = F · ds.
Σ
γ